Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
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Passo 1
O enunciado nos dá a quádricas
5 z^{2}-9 x^{2}-15 y^{2}+54 x+60 y+20 z=166, e o objetivo é achar o centro e classificar a superfície. O conteúdo é teoria de quádricas, e a técnica principal será completar quadrados para passar a equação à forma canônica.
5 z^{2}-9 x^{2}-15 y^{2}+54 x+60 y+20 z=166, e o objetivo é achar o centro e classificar a superfície. O conteúdo é teoria de quádricas, e a técnica principal será completar quadrados para passar a equação à forma canônica.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos em x, y e z e completamos o quadrado em cada um: para x temos
Para y temos
Para z temos
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original, obtemos
Somando as constantes extraídas (−20+81+60=121) e passando para o outro lado, ficamos com
Passo 4
Para encontrar o centro, basta olhar para os termos completados: (x-3), (y-2) e (z+2). Assim, o centro da quádricas é
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 45 para chegar à forma canônica temos
que simplifica para
Passo 6
Na forma canônica aparece um termo positivo e dois negativos. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo z, centrado em (3,2,−2).
Resposta
Centro: (3, 2, –2). Natureza: hiperbolóide de duas folhas com eixo principal paralelo ao eixo z.