Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
5 z^2-9 x^2-15 y^2+54 x+60 y+20 z=166.

Passo 1

O enunciado nos dá a quádricas
5 z^{2}-9 x^{2}-15 y^{2}+54 x+60 y+20 z=166, e o objetivo é achar o centro e classificar a superfície. O conteúdo é teoria de quádricas, e a técnica principal será completar quadrados para passar a equação à forma canônica.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x, y e z e completamos o quadrado em cada um: para x temos
-9x^2+54x=-9l(x^2-6xr)=-9(x-3)^2+81
Para y temos
-15y^2+60y=-15l(y^2-4yr)=-15(y-2)^2+60
Para z temos
5z^2+20z=5l(z^2+4zr)=5(z+2)^2-20

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original, obtemos
5(z+2)^2-20;+ l[-9(x-3)^2+81r];+ l[-15(y-2)^2+60r]=166
Somando as constantes extraídas (−20+81+60=121) e passando para o outro lado, ficamos com
5(z+2)^2-9(x-3)^2-15(y-2)^2=166-121=45

Passo 4

Para encontrar o centro, basta olhar para os termos completados: (x-3), (y-2) e (z+2). Assim, o centro da quádricas é
(x,y,z)=(3,2,-2)

Passo 5

Dividindo ambos os lados por 45 para chegar à forma canônica temos
5(z+2)^245-9(x-3)^245-15(y-2)^245=1,
que simplifica para
(z+2)^29-(x-3)^25-(y-2)^23=1

Passo 6

Na forma canônica aparece um termo positivo e dois negativos. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, com eixo principal paralelo ao eixo z, centrado em (3,2,−2).

Resposta

Centro: (3, 2, –2). Natureza: hiperbolóide de duas folhas com eixo principal paralelo ao eixo z.

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