Considere as quádricas Q e os planos pi dados abaixo. Determine a seção plana Q cap pi. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
Q: x^2+4 y^2=z^2 e pi: x=2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a seção plana da quádricas Q: x^2 + 4y^2 = z^2 pelo plano pi: x = 2. O conteúdo é interseção de superfícies quádricas com planos e, se surgirem cônicas, vamos achar seus elementos principais (centro, vértices, focos, assíntotas).

Passo 2

Substituímos x = 2 na equação de Q. Assim temos:
2^2 + 4y^2 = z^2
ou seja
4 + 4y^2 = z^2

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de cônica no plano x=2, passamos o termo 4+4y^2 para o lado esquerdo e dividimos por 4:
z^2 - 4y^2 = 4
z^24 - y^2 = 1

Passo 4

Isso mostra que a seção é uma hipérbole de centro no ponto (2,0,0), com eixo transverso paralelo ao eixo z (dentro do plano x=2).
Os elementos principais dessa hipérbole são:
• Centro: (2,0,0).
• Equação canônica no plano x=2: dfracz^24 - y^2 = 1.
• Vértices: onde dfracz^24=1 e y=0, ou seja (2,0,2) e (2,0,-2).
• Focos: dão c^2=a^2+b^2=4+1=5, então c=raiz5, logo focos em (2,0,raiz5) e (2,0,-raiz5).
• Assíntotas: obtidas de z^2-4y^2=0, isto é z=pm2y, dentro do plano x=2.

Resposta

A seção plana Qcappi é a hipérbole definida por
z^24 - y^2 = 1
no plano x=2, com centro em (2,0,0), vértices em (2,0,2) e (2,0,-2), focos em (2,0,raiz5) e (2,0,-raiz5) e assíntotas dadas por z=pm2y.

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