Considere as quádricas
e os planos
dados abaixo. Determine a seção plana
. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a seção plana da quádricas
pelo plano
. O conteúdo é interseção de superfícies quádricas com planos e, se surgirem cônicas, vamos achar seus elementos principais (centro, vértices, focos, assíntotas).
Passo 2
Substituímos
na equação de
. Assim temos:
ou seja
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão de cônica no plano
, passamos o termo
para o lado esquerdo e dividimos por 4:
Passo 4
Isso mostra que a seção é uma hipérbole de centro no ponto
, com eixo transverso paralelo ao eixo
(dentro do plano
).
Os elementos principais dessa hipérbole são:
• Centro: .
• Equação canônica no plano :
.
• Vértices: onde e
, ou seja
e
.
• Focos: dão , então
, logo focos em
e
.
• Assíntotas: obtidas de , isto é
, dentro do plano
.
Os elementos principais dessa hipérbole são:
• Centro:
• Equação canônica no plano
• Vértices: onde
• Focos: dão
• Assíntotas: obtidas de
Resposta
A seção plana
é a hipérbole definida por
no plano
, com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
e assíntotas dadas por
.