Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
x^2+2 y^2-3 z^2+4 x-4 y-6 z-9=0.

Passo 1

Temos a quádricas x^2+2y^2-3z^2+4x-4y-6z-9=0. O conteúdo é identificação de centro de uma quádricas central e classificação da superfície usando a forma canônica; vamos precisar calcular derivadas parciais para achar o centro e completar quadrados para reescrever em forma padrão.

Passo 2

Para encontrar o centro, usamos que em quádricas sem termos mistos o centro (x0,y0,z0) satisfaz as equações partial fpartial x=0, partial fpartial y=0, partial fpartial z=0. No nosso caso temos
partial fpartial x=2x+4=0, partial fpartial y=4y-4=0, partial fpartial z=-6z-6=0

Passo 3

Daí obtemos x=-2, y=1, z=-1, logo o centro é (-2,1,-1).

Passo 4

Para reescrever em forma canônica, fazemos a translação de variáveis centrada em (-2,1,-1):
U=x+2, V=y-1, W=z+1

Passo 5

Substituindo na equação original e completando quadrados, chegamos a
U^2+2V^2-3W^2-12=0Longrightarrow U^2+2V^2-3W^2=12

Passo 6

Dividindo tudo por 12, fica
U^212+V^26-W^24=1

Passo 7

Nesta forma canônica vemos dois coeficientes positivos e um negativo, o que caracteriza um hiperbolóide de uma folha, pois o conjunto é conexo e em todas as direções há solução real.

Resposta

Centro em (-2,1,-1) e a superfície é um hiperbolóide de uma folha.

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