Determinar as coordenadas do centro e discutir a natureza de cada uma das seguintes quádricas.
.
Passo 1
Temos a quádricas
. O conteúdo é identificação de centro de uma quádricas central e classificação da superfície usando a forma canônica; vamos precisar calcular derivadas parciais para achar o centro e completar quadrados para reescrever em forma padrão.
Passo 2
Para encontrar o centro, usamos que em quádricas sem termos mistos o centro
satisfaz as equações
,
,
. No nosso caso temos
Passo 3
Daí obtemos
,
,
, logo o centro é
.
Passo 4
Para reescrever em forma canônica, fazemos a translação de variáveis centrada em
:
Passo 5
Substituindo na equação original e completando quadrados, chegamos a
Passo 6
Dividindo tudo por 12, fica
Passo 7
Nesta forma canônica vemos dois coeficientes positivos e um negativo, o que caracteriza um hiperbolóide de uma folha, pois o conjunto é conexo e em todas as direções há solução real.
Resposta
Centro em (-2,1,-1) e a superfície é um hiperbolóide de uma folha.