Determinar as coordenadas das extremidades da latus rectum da parábola cuja diretriz é a rela y-3=0 e cujo foco é o ponto F=(1,1).
\text { Resp.: } \mathrm{P}=(3,1) \mathrm{e} \mathrm{P}^{\prime}=(-1,1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as extremidades do latus rectum de uma parábola cuja definição é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Aqui a diretriz é
y-3=0
ou seja y=3, e o foco é
F=(1,1).

Passo 2

Para achar o vértice usamos que ele está no ponto médio entre o foco e sua projeção sobre a diretriz. A projeção de F=(1,1) sobre y=3 é (1,3). O vértice V é então
V = \Bigl(\frac{1+1}{2},\,\frac{1+3}{2}\Bigr) = (1,2).

Passo 3

O parâmetro p é a distância de V até F ao longo do eixo da parábola. Como a diretriz é horizontal, o eixo é vertical, e
p = |y_F - y_V| = |1 - 2| = 1.
Como o foco está abaixo da diretriz, a parábola abre para baixo, com equação
(x-1)^2 = -4p\,(y-2) = -4(y-2).

Passo 4

O latus rectum é o segmento que passa pelo foco, perpendicular ao eixo, com comprimento |4p|. Aqui |4p|=4. Como o eixo é vertical, esse segmento é horizontal e fica na reta y=y_F=1. Metade do latus rectum vale 2 em cada direção a partir de x=1.

Passo 5

As extremidades P e P' têm coordenadas
P = (1+2,\,1) = (3,1), \quad P' = (1-2,\,1) = (-1,1).

Resposta

P = (3,1)
P' = (-1,1)

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