1. Calcular os pontos de intersecção (ou interseção) da parábola y^{2}=4 x com a reta r: 4 x-2 y-3=0.
\text { Resp.: } \mathrm{P}=\left(\frac{1}{4},-1\right) \text { e } \mathrm{P}^{\prime}=\left(\frac{9}{4}, 3\right)
SUGESTÃO:
a) de r : y=\frac{4 x-3}{2}
b) resolva o sistema: \left\{\begin{array}{l} y^{2}=4 x \\\ y=\frac{4 x-3}{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção entre a parábola y^{2}=4x e a reta 4x-2y-3=0. O conteúdo é geometria analítica de interseção de curvas e vamos usar o método de substituição: expressar y em função de x pela reta e inserir na equação da parábola.

Passo 2

Da reta 4x-2y-3=0 isolamos y. Somando 2y e subtraindo 3 em ambos os lados:
4x - 3 = 2y
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y = \frac{4x - 3}{2}.

Passo 3

Substituímos \displaystyle y=\frac{4x-3}{2} em \displaystyle y^{2}=4x. Assim,
\biggl(\frac{4x-3}{2}\biggr)^{2} = 4x
o que dá
\frac{16x^{2} - 24x + 9}{4} = 4x.
Multiplicando ambos os lados por 4:
16x^{2} - 24x + 9 = 16x
e agrupando termos:
16x^{2} - 40x + 9 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática 16x^{2} - 40x + 9 = 0. O discriminante é
\Delta = (-40)^{2} - 4\cdot16\cdot9 = 1600 - 576 = 1024,
com \sqrt{\Delta}=32. Assim,
x = \frac{40 \pm 32}{2\cdot16} = \frac{40 \pm 32}{32}.
Isso fornece
x_{1} = \frac{40 - 32}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}, \quad x_{2} = \frac{40 + 32}{32} = \frac{72}{32} = \frac{9}{4}.

Passo 5

Agora obtemos y usando y=(4x-3)/2:
Para x_{1}=\tfrac{1}{4},
y_{1} = \frac{4\cdot\frac{1}{4} - 3}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1.
Para x_{2}=\tfrac{9}{4},
y_{2} = \frac{4\cdot\frac{9}{4} - 3}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3.

Resposta

\displaystyle P=\bigl(\tfrac{1}{4},-1\bigr)
\displaystyle P'=\bigl(\tfrac{9}{4},3\bigr)

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