Determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta \mathbf{r}: \mathbf{X}=(1,1,1)+\lambda(3,2,-1) com o plano \pi :
\left\{\begin{array}{l} x=\lambda+\mu \\ y=1-\lambda+2 \mu \\ z=-1-\lambda+3 \mu \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
\mathbf r:\;X=(1,1,1)+\lambda\,(3,2,-1)
e o plano em forma paramétrica
\pi:\quad \begin{cases} x=\lambda+\mu\\\ y=1-\lambda+2\mu\\\ z=-1-\lambda+3\mu \end{cases}
Queremos o ponto em que a reta corta o plano. Para isso, vamos usar parâmetros distintos: chamemos t o parâmetro da reta e conservemos \lambda,\mu no plano, igualar coordenadas e resolver o sistema.

Passo 2

Escrevendo separadamente:
a reta em função de t
\begin{cases} x=1+3t,\\\ y=1+2t,\\\ z=1-t, \end{cases}
e o plano
\begin{cases} x=\lambda+\mu,\\\ y=1-\lambda+2\mu,\\\ z=-1-\lambda+3\mu. \end{cases}

Passo 3

No ponto de interseção as três coordenadas coincidem, daí o sistema
\begin{cases} 1+3t=\lambda+\mu,\\\\ 1+2t=1-\lambda+2\mu,\\\\ 1-t=-1-\lambda+3\mu. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação isolamos \lambda:
\lambda=1+3t-\mu.

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
1+2t =1-(1+3t-\mu)+2\mu=-3t+3\mu \quad\Longrightarrow\quad 3\mu=1+5t \quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{1+5t}{3}.

Passo 6

Agora substituímos \lambda=1+3t-\mu e \mu=\tfrac{1+5t}{3} na terceira equação:
1-t = -1-\lambda+3\mu = -1-\bigl(1+3t-\mu\bigr)+3\mu =\frac{11t-2}{3}.
Multiplicando por 3 e rearranjando vem
3-3t=11t-2 \quad\Longrightarrow\quad 14t=5 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{5}{14}.

Passo 7

Com t=\tfrac{5}{14} calculamos
\mu=\frac{1+5\cdot\frac{5}{14}}{3}=\frac{13}{14}, \qquad \lambda=1+3\cdot\frac{5}{14}-\frac{13}{14}=\frac{8}{7}.
Finalmente, o ponto de interseção obtém-se na reta para t=\tfrac{5}{14}:
x=1+3\cdot\frac{5}{14}=\frac{29}{14},\quad y=1+2\cdot\frac{5}{14}=\frac{12}{7},\quad z=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}.

Resposta

O ponto de interseção é
\Bigl(\tfrac{29}{14},\,\tfrac{12}{7},\,\tfrac{9}{14}\Bigr).

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