1. Determinar as coordenadas retangulares de um ponto " P ", levantado por interseçāo inversa, a partir dos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , sabendo-se que:
\begin{array}{llll} X_{A}=600,00 \mathrm{~m} ; & X_{B}=954,55 \mathrm{~m} ; & X_{C}=849,24 \mathrm{~m} ; & B \hat{\mathrm{PA}}=26^{\circ} 08^{\prime} \\\ Y_{A}=800,00 \mathrm{~m} ; & Y_{B}=483,00 \mathrm{~m} ; & Y_{C}=67,85 \mathrm{~m} ; & C \hat{\mathrm{~PB}}=24^{\circ} 53^{\prime} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos A, B e C em metros e dois ângulos medidos no ponto--esta-ção P (que é desconhecido):
X_A=600{,}00,\;Y_A=800{,}00
X_B=954{,}55,\;Y_B=483{,}00
X_C=849{,}24,\;Y_C= 67{,}85
e
\angle B\,P\,A = 26^\circ08' \quad\text{e}\quad \angle C\,P\,B = 24^\circ53'.
O conteúdo é o problema de resecção por interseção inversa: P é o ponto que “vê” o segmento AB sob o ângulo de 26^\circ08' e o segmento BC sob 24^\circ53'. A solução consiste em determinar as duas circunferências cujo arco subtende cada um desses ângulos (uma em AB e outra em BC) e encontrar sua interseção que reproduz as medidas de ângulo.

Passo 2

Calcular o comprimento dos lados AB e BC:
AB = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} = \sqrt{(954{,}55-600{,}00)^2 + (483{,}00-800{,}00)^2} \approx 475{,}66\text{ m},
BC = \sqrt{(X_C - X_B)^2 + (Y_C - Y_B)^2} = \sqrt{(849{,}24-954{,}55)^2 + (67{,}85-483{,}00)^2} \approx 428{,}19\text{ m}.

Passo 3

Para o ângulo \alpha = 26^\circ08' = 26{,}1333^\circ subtendido pelo chordo AB, a circunferência tem raio
R_{AB} = \frac{AB}{2\sin\alpha} = \frac{475{,}66}{2\sin(26{,}1333^\circ)} \approx 540{,}71\text{ m}.
O centro dessa circunferência fica sobre a mediatriz de AB, a uma distância
d_{AB} = R_{AB}\cos\alpha \approx 540{,}71\cos(26{,}1333^\circ)\approx 485{,}61\text{ m}
do ponto médio de AB, em um dos dois lados da mediatriz.

Passo 4

De modo análogo, para o ângulo \beta = 24^\circ53' =24{,}8833^\circ sobre o chordo BC,
R_{BC} = \frac{BC}{2\sin\beta} = \frac{428{,}19}{2\sin(24{,}8833^\circ)} \approx 507{,}85\text{ m},
com centro sobre a mediatriz de BC a
d_{BC} = R_{BC}\cos\beta \approx 507{,}85\cos(24{,}8833^\circ)\approx 460{,}35\text{ m}.

Passo 5

Determinar as coordenadas dos dois possíveis centros de cada circunferência (somando ou subtraindo o vetor perpendicular normalizado ao chordo AB ou BC).
Para AB, o ponto médio é
M_{AB}\!=\!\Bigl(\tfrac{600+954{,}55}2,\;\tfrac{800+483}2\Bigr)\!=\!(777{,}275,\;641{,}5).
O vetor AB é (354{,}55,\,-317), e uma normal unitária é \tfrac1{475{,}66}(317,\;354{,}55).
Assim os dois centros possíveis são
O_{AB}^{\pm} = M_{AB}\pm d_{AB}\,\frac{(317,\;354{,}55)}{475{,}66}.
Para BC, ponto médio
M_{BC}\!=\!\Bigl(\tfrac{954{,}55+849{,}24}2,\;\tfrac{483+67{,}85}2\Bigr)\!=\!(901{,}895,\;275{,}425).
O vetor BC é (-105{,}31,\,-415{,}15) e uma normal unitária é \tfrac1{428{,}19}(415{,}15,\,-105{,}31).
Os centros possíveis:
O_{BC}^{\pm} = M_{BC}\pm d_{BC}\,\frac{(415{,}15,\;-105{,}31)}{428{,}19}.

Passo 6

Calcular a interseção das duas circunferências. Há quatro pares de centros (O_{AB}^{\pm},O_{BC}^{\pm}), mas só um par gera uma interseção que reproduz os dois ângulos agudos de 26^\circ08' e 24^\circ53'.
Fazendo o cálculo vetorial e escolhendo o par adequado, obtém-se o ponto
P \approx (1505{,}68,\;644{,}99).

Resposta

As coordenadas do ponto P são aproximadamente
X_{P}=1505{,}68\text{ m}, \qquad Y_{P}=644{,}99\text{ m}.

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