Determinar as coordenadas do vetor u=(2,1,4) do R^3 em relação à base canônica e em relação à base B=(1,1,1),(1,0,1),(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar as coordenadas do vetor no espaço de duas maneiras: primeiro, em relação à base canônica (que é a base padrão que usamos no dia a dia), e depois em relação a uma base específica . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre bases e como expressar vetores em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é a base canônica. No , a base canônica é formada pelos vetores , e . Quando expressamos um vetor em relação à base canônica, seus coeficientes são exatamente suas componentes. Então, para o vetor , as coordenadas na base canônica são simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: encontrar as coordenadas de c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,0,1) + c3 cdot (1,0,-1) = (2,1,4) em relação à base . Isso significa que queremos escrever como uma combinação linear desses três vetores. Ou seja, precisamos achar números , e tais que:

Passo 4

Vamos montar esse sistema de equações. Ao expandir a combinação linear, temos:
(c1 + c2 + c3, c1, c1 + c2 - c3) = (2, 1, 4)
Isso nos dá o seguinte sistema:
c1 + c2 + c3 = 2 c1 = 1 c1 + c2 - c3 = 4

Passo 5

Começamos pela segunda equação, que já nos dá 1 + c2 + c3 = 2 implies c2 + c3 = 1 (i) . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Primeira equação:
1 + c2 - c3 = 4 implies c2 - c3 = 3 (ii)
Terceira equação:

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas incógnitas:
c2 + c3 = 1 (i) c2 - c3 = 3 (ii)
Vamos somar as duas equações para eliminar (c2 + c3) + (c2 - c3) = 1 + 3 2c2 = 4 implies c2 = 2 :
2 + c3 = 1 implies c3 = -1
Agora, substituímos na equação :

Passo 7

Então, encontramos os coeficientes:
c1 = 1, c2 = 2, c3 = -1
Isso significa que as coordenadas de em relação à base são .

Resposta

As coordenadas do vetor são:
  • Base canônica:
  • Base :

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