Dados U doteq(x, y, z, w): y-2 z+w=0, W doteq(x, y, z, w): x=w, y=2 z subespaços vetoriais do espaço vetorial V doteq R^4 determinar:
(i) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U.
(ii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial W.
(iii) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U+W.
(iv) uma base e a dimensão do susbespaço vetorial U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de álgebra linear onde precisa encontrar bases e dimensões de alguns subespaços vetoriais no espaço . Os subespaços são definidos por certas condições nas coordenadas dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, vetores livres, e como encontrar bases e dimensões desses subespaços.

Passo 2

Parte (i): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço y = 2z - w .
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço (x, y, z, w) = (x, 2z - w, z, w) . Ele é definido por todos os vetores (x, y, z, w) = x cdot (1, 0, 0, 0) + z cdot (0, 2, 1, 0) + w cdot (0, -1, 0, 1) em , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , que satisfazem a equação .
Isso significa que, para qualquer vetor em , as coordenadas , e estão relacionadas por essa equação. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Agora, podemos expressar o vetor em termos de variáveis livres. Aqui, e são variáveis livres, já que não estão restritas pela equação.
Então, o vetor pode ser escrito como:
Podemos separar isso em termos de , , e :
Isso nos dá uma combinação linear de três vetores. Então, uma base para é formada por esses vetores:
A dimensão de é o número de vetores na base, que aqui é 3.

Passo 3

Parte (ii): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço (x, y, z, w) = (w, 2z, z, w) .
Agora, vamos para o subespaço (w, y, z, w) = w cdot (1, 0, 0, 1) + z cdot (0, 2, 1, 0) , definido pelos vetores , (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0) , que satisfazem e .
Essas duas equações nos dão relações entre as coordenadas. Podemos expressar e em termos de e , mas como , realmente apenas precisamos de e como variáveis livres.
Então, expressamos o vetor como:
Podemos separar isso em termos de e :
Isso nos dá uma combinação linear de dois vetores. Então, uma base para é:
A dimensão de é 2, já que temos dois vetores na base.

Passo 4

Parte (iii): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0) , .
O subespaço 1 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & -1 & 2 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 é a soma dos subespaços , (1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1) , e , ou seja, todo vetor que pode ser escrito como onde e .
Para encontrar uma base para , pegamos as bases de e e juntamos os vetores:
Notamos que o vetor aparece duas vezes, então podemos eliminá-lo.
Agora, temos quatro vetores. Para verificar se eles são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir:
Após a redução, constatamos que há redundância, e a base final será composta por três vetores:
Portanto, a dimensão de é 3.

Passo 5

Parte (iv): Encontrar uma base e a dimensão do subespaço y - 2z + w = 0 2z - 2z + w = 0 w = 0 .
(0, 2z, z, 0) = z cdot (0, 2, 1, 0) é o conjunto de vetores que estão tanto em , (0, 2, 1, 0) , quanto em . Vamos encontrar as condições que esses vetores devem satisfazer.
Sabemos que:
  • Para :
  • Para : e
Vamos substituir as condições de na equação de :
E como , então .
Portanto, os vetores em devem satisfazer , , e .
Então, o vetor tem a forma:
Isso significa que qualquer vetor em é um múltiplo escalar de . Portanto, a base é:
E a dimensão de é 1.

Resposta

(i) Base de : , dimensão 3.
(ii) Base de : , dimensão 2.
(iii) Base de : , dimensão 3.
(iv) Base de : , dimensão 1.

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