Determinar uma base de R^4 que contenha os vetores (1,1,1,1),(2,1,2,1) como dois de seus elementos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Álgebra Linear! A gente precisa achar uma base para o espaço R^4 que inclua os vetores (1,1,1,1) e (2,1,2,1). Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e garantir que os vetores escolhidos sejam linearmente independentes e gerem todo o espaço R^4.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os dois vetores que já temos são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Vamos supor que existe um número k tal que (2,1,2,1) = k cdot (1,1,1,1). Isso daria as equações:
2 = k cdot 1 1 = k cdot 1 2 = k cdot 1 1 = k cdot 1
Vendo a primeira equação, temos k=2. Mas na segunda, k seria 1, o que é um conflito. Então, não existe tal k, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como estamos trabalhando em R^4, nossa base precisa ter 4 vetores. Já temos 2, então precisamos encontrar mais 2 vetores que não estejam no espaço gerado pelos dois primeiros.
Uma estratégia comum é escolher vetores que tenham 1 em uma posição diferente das anteriores. Por exemplo, vamos tentar os vetores (1,0,0,0) e (0,1,0,0).

Passo 4

Vamos verificar se esses novos vetores não estão no espaço gerado pelos dois primeiros. Para isso, precisamos garantir que nenhuma combinação linear dos primeiros dois vetores possa gerar os novos vetores.
Assumindo que existe alguma combinação dos primeiros vetores que possa gerar (1,0,0,0):
a cdot (1,1,1,1) + b cdot (2,1,2,1) = (1,0,0,0)
Isso nos dá o sistema:
a + 2b = 1 a + b = 0 a + 2b = 0 a + b = 0
Resolvendo, vemos que não há solução consistente. O mesmo vale para (0,1,0,0). Portanto, os novos vetores são linearmente independentes dos primeiros.

Passo 5

Agora, temos 4 vetores:
(1,1,1,1), (2,1,2,1), (1,0,0,0), (0,1,0,0)
Como todos são linearmente independentes e são 4 vetores em R^4, eles formam uma base para o espaço.

Resposta

Uma base de R^4 que contém os vetores (1,1,1,1) e (2,1,2,1) é:
, (1,1,1,1), (2,1,2,1), (1,0,0,0), (0,1,0,0) ,

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