Determinar a declividade média (Dm) de uma bacia hidrográfica e a curva de distribuição da declividade da bacia para os dados da tabela abaixo, os quais foram estimados pelo método das quadrículas:
1 2 3 4 5 6
Declividade (m/m) Número de ocorrência % do total % acumulada declividade média do intervalo coluna 2 x coluna 5
0,0000-0,0059 70
0,0060-0,0119 45
0,0120-0,0179 30
0,0180-0,0239 5
0,0240-0,0299 0
0,0300-0,0359 10
0,0360-0,0419 3
0,0420-0,0479 2
Total

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a declividade média (Dm) da bacia hidrográfica e (2) apresentar a curva de distribuição da declividade da bacia, usando os dados fornecidos na tabela estimada pelo método das quadrículas.
As informações relevantes (retiradas da tabela do enunciado) são os intervalos de declividade e o número de ocorrências em cada intervalo:
\begin{array}{l l} \text{Intervalos de declividade (m/m)} & \text{Número de ocorrência } n_i\\\ \hline 0,0000-0,0059 & 70\\\\ 0,0060-0,0119 & 45\\\\ 0,0120-0,0179 & 30\\\\ 0,0180-0,0239 & 5\\\\ 0,0240-0,0299 & 0\\\\ 0,0300-0,0359 & 10\\\\ 0,0360-0,0419 & 3\\\\ 0,0420-0,0479 & 2 \end{array}
Vamos usar esses dados para calcular porcentagens, médias de intervalo (midpoints), produtos n_i\cdot m_i, a soma desses produtos e, por fim, a declividade média e os pontos para a curva de distribuição acumulada.

Passo 2

Calcular o total de observações N. Somamos as ocorrências de todas as classes:
N=\sum_i n_i = 70+45+30+5+0+10+3+2 = 165.
Portanto N=165.

Passo 3

Calcular a porcentagem de cada classe em relação ao total. A fórmula é
p_i=\frac{n_i}{N}\times 100\%.
Aplicando para cada classe (arredondando a duas casas decimais):
\begin{array}{l l} n_1=70 \Rightarrow p_1=\dfrac{70}{165}\times100\%=42,42\%\\[4pt] n_2=45 \Rightarrow p_2=\dfrac{45}{165}\times100\%=27,27\%\\[4pt] n_3=30 \Rightarrow p_3=\dfrac{30}{165}\times100\%=18,18\%\\[4pt] n_4=5 \Rightarrow p_4=\dfrac{5}{165}\times100\%=3,03\%\\[4pt] n_5=0 \Rightarrow p_5=\dfrac{0}{165}\times100\%=0,00\%\\[4pt] n_6=10 \Rightarrow p_6=\dfrac{10}{165}\times100\%=6,06\%\\[4pt] n_7=3 \Rightarrow p_7=\dfrac{3}{165}\times100\%=1,82\%\\[4pt] n_8=2 \Rightarrow p_8=\dfrac{2}{165}\times100\%=1,21\% \end{array}
Confirme que a soma das porcentagens dá aproximadamente 100\% (devido a arredondamento: 42,42+27,27+18,18+3,03+0,00+6,06+1,82+1,21\approx99,99\%).]

Passo 4

Calcular a porcentagem acumulada (usada na curva de distribuição acumulada). A porcentagem acumulada P_i é a soma das porcentagens das classes até a classe i:
\begin{array}{l l} P_1 = 42,42\%\\[4pt] P_2 = 42,42\% + 27,27\% = 69,69\%\\[4pt] P_3 = 69,69\% + 18,18\% = 87,87\%\\[4pt] P_4 = 87,87\% + 3,03\% = 90,90\%\\[4pt] P_5 = 90,90\% + 0,00\% = 90,90\%\\[4pt] P_6 = 90,90\% + 6,06\% = 96,96\%\\[4pt] P_7 = 96,96\% + 1,82\% = 98,78\%\\[4pt] P_8 = 98,78\% + 1,21\% = 99,99\%\\ (\text{≈}100,00\%) \end{array}]

Passo 5

Calcular a declividade média de cada intervalo (o ponto médio do intervalo). A fórmula do ponto médio m_i de um intervalo [a_i,b_i] é
m_i=\frac{a_i+b_i}{2}.
Calculando cada um:
\begin{array}{l l} 0,0000-0,0059 \Rightarrow m_1=\dfrac{0,0000+0,0059}{2}=0,00295\\[4pt] 0,0060-0,0119 \Rightarrow m_2=\dfrac{0,0060+0,0119}{2}=0,00895\\[4pt] 0,0120-0,0179 \Rightarrow m_3=\dfrac{0,0120+0,0179}{2}=0,01495\\[4pt] 0,0180-0,0239 \Rightarrow m_4=\dfrac{0,0180+0,0239}{2}=0,02095\\[4pt] 0,0240-0,0299 \Rightarrow m_5=\dfrac{0,0240+0,0299}{2}=0,02695\\[4pt] 0,0300-0,0359 \Rightarrow m_6=\dfrac{0,0300+0,0359}{2}=0,03295\\[4pt] 0,0360-0,0419 \Rightarrow m_7=\dfrac{0,0360+0,0419}{2}=0,03895\\[4pt] 0,0420-0,0479 \Rightarrow m_8=\dfrac{0,0420+0,0479}{2}=0,04495 \end{array}]

Passo 6

Calcular os produtos n_i\cdot m_i (coluna 2 × coluna 5 da tabela) — estes servem para o cálculo da média ponderada (declividade média):
\begin{array}{l l} n_1 m_1 = 70\cdot 0,00295 = 0,20650\\[4pt] n_2 m_2 = 45\cdot 0,00895 = 0,40275\\[4pt] n_3 m_3 = 30\cdot 0,01495 = 0,44850\\[4pt] n_4 m_4 = 5\cdot 0,02095 = 0,10475\\[4pt] n_5 m_5 = 0\cdot 0,02695 = 0,00000\\[4pt] n_6 m_6 = 10\cdot 0,03295 = 0,32950\\[4pt] n_7 m_7 = 3\cdot 0,03895 = 0,11685\\[4pt] n_8 m_8 = 2\cdot 0,04495 = 0,08990 \end{array}
Somando todos os produtos:
\sum_i n_i m_i = 0,20650+0,40275+0,44850+0,10475+0+0,32950+0,11685+0,08990 = 1,69875.]

Passo 7

Calcular a declividade média da bacia Dm. A declividade média calculada pelo método das quadrículas é a média ponderada dos pontos médios pelas frequências:
Dm=\dfrac{\sum_i n_i m_i}{\sum_i n_i}=\dfrac{1,69875}{165}=0,0102927\ldots
Arredondando razoavelmente (por exemplo, com 5 casas decimais) obtemos
Dm \approx 0,01029\\ \text{m/m}.
Interpretação rápida: Dm=0,01029\\ \text{m/m} equivale a aproximadamente 1,029\% de declividade média.

Passo 8

Construir a curva de distribuição acumulada da declividade: para desenhar a curva plotamos no eixo x os pontos médios m_i e no eixo y a porcentagem acumulada P_i. Os pontos a plotar (cada par (m_i,P_i)) são:
\begin{array}{l} (0,00295; 42,42\%)\\\ (0,00895; 69,69\%)\\\ (0,01495; 87,87\%)\\\ (0,02095; 90,90\%)\\\ (0,02695; 90,90\%)\\\ (0,03295; 96,96\%)\\\ (0,03895; 98,78\%)\\\ (0,04495; 99,99\%) \end{array}
Para desenhar a curva no papel ou em software: marque cada ponto e ligue-os normalmente por uma linha suave (ou por segmentos) para obter a curva acumulada da declividade da bacia.

Resposta

Dm = 0,01029\\ \text{m/m}
Pontos da curva de distribuição acumulada (midpoint; % acumulada):
(0,00295; 42,42\%)
(0,00895; 69,69\%)
(0,01495; 87,87\%)
(0,02095; 90,90\%)
(0,02695; 90,90\%)
(0,03295; 96,96\%)
(0,03895; 98,78\%)
(0,04495; 99,99\%)

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