O perímetro de uma bacia hidrográfica é de 70 Km e são conhecidos os seguintes dados:
  • Distribuição de cotas:
Cotas (m) Ponto Médio (m) Área ( \mathrm{km}^{2} ) Área Acumulada ( \mathrm{km}^{2} ) % Acumulada Coluna 2 * Coluna 3
940-920 1,92
920-900 2,90
900-880 3,68
880-860 4,07
860-840 4,60
840-820 2,92
820-800 19,85
800-780 23,75
780-760 30,27
760-740 32,09
740-720 27,86
720-700 15,45
700-680 7,89
TOTAL

HIDROLOGIA APLICADA

Lista de Exercícios \mathbf{n}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{0 1}

Bacias hidrográficas.

Prof. Frederico de Souza Aleixo, Me.
  • Distribuição de declividade:
Decividade (m/m) Número de Ocorrências % do Total % Acumulada Declividade Média Coluna 2 * Coluna 5
0,0000-0,0049 249
0,0050-0,0099 69
0,0100-0,0149 13
0,0150-0,0199 7
0,0200-0,0249 0
0,0250-0,0299 15
0,0300-0,0349 0
0,0350-0,0399 0
0,0400-0,0449 0
0,0450-0,0499 5
TOTAL
Pede-se:
Qual a altitude média?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a altitude média da bacia hidrográfica.
Dados fornecidos (intervalos de cotas e respectivas áreas):
  • Cota 940\text{-}920: área 1,92\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 920\text{-}900: área 2,90\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 900\text{-}880: área 3,68\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 880\text{-}860: área 4,07\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 860\text{-}840: área 4,60\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 840\text{-}820: área 2,92\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 820\text{-}800: área 19,85\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 800\text{-}780: área 23,75\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 780\text{-}760: área 30,27\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 760\text{-}740: área 32,09\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 740\text{-}720: área 27,86\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 720\text{-}700: área 15,45\\ \mathrm{km}^2
  • Cota 700\text{-}680: área 7,89\\ \mathrm{km}^2
Informações adicionais do enunciado: perímetro da bacia 70\\ \mathrm{km} (não é necessário para a altitude média) e tabelas de declividade (também não necessárias para esta pergunta).
O que se pede explicitamente: “Qual a altitude média?”

Passo 2

Qual a ideia para calcular a altitude média? Vou explicar de forma prática: quando temos áreas distribuídas por classes de cota (intervalos), assumimos que toda a área de uma classe tem a altitude igual ao ponto médio do intervalo (isto é uma aproximação padrão). A altitude média da bacia é então a média ponderada das altitudes por área, dada pela fórmula:
\bar{z}=\frac{\sum_{i} A_i z_i}{\sum_{i} A_i}
onde:
  • A_i é a área da i-ésima faixa (em \mathrm{km}^2),
  • z_i é o ponto médio (a altitude representativa) da i-ésima faixa (em m),
  • \bar{z} é a altitude média buscada (em m).
Explicando cada parte: multiplicamos a área de cada faixa pela altitude representativa (produto A_i z_i), somamos todos esses produtos e dividimos pela soma das áreas. Isso dá a altitude média ponderada pela área — ou seja, as cotas que ocupam mais área têm maior peso na média.

Passo 3

Calcular os pontos médios z_i de cada intervalo (m): basta tirar a média aritmética entre os extremos de cada faixa.
  • Para 940\text{-}920: z = \dfrac{940+920}{2}=930 m
  • Para 920\text{-}900: z = \dfrac{920+900}{2}=910 m
  • Para 900\text{-}880: z = \dfrac{900+880}{2}=890 m
  • Para 880\text{-}860: z = \dfrac{880+860}{2}=870 m
  • Para 860\text{-}840: z = \dfrac{860+840}{2}=850 m
  • Para 840\text{-}820: z = \dfrac{840+820}{2}=830 m
  • Para 820\text{-}800: z = \dfrac{820+800}{2}=810 m
  • Para 800\text{-}780: z = \dfrac{800+780}{2}=790 m
  • Para 780\text{-}760: z = \dfrac{780+760}{2}=770 m
  • Para 760\text{-}740: z = \dfrac{760+740}{2}=750 m
  • Para 740\text{-}720: z = \dfrac{740+720}{2}=730 m
  • Para 720\text{-}700: z = \dfrac{720+700}{2}=710 m
  • Para 700\text{-}680: z = \dfrac{700+680}{2}=690 m

Passo 4

Calcular os produtos A_i z_i para cada faixa (vou mostrar a conta de cada um):
  • 1,92\times 930 = 1785,6
  • 2,90\times 910 = 2639,0
  • 3,68\times 890 = 3275,2
  • 4,07\times 870 = 3540,9
  • 4,60\times 850 = 3910,0
  • 2,92\times 830 = 2423,6
  • 19,85\times 810 = 16078,5
  • 23,75\times 790 = 18762,5
  • 30,27\times 770 = 23307,9
  • 32,09\times 750 = 24067,5
  • 27,86\times 730 = 20337,8
  • 15,45\times 710 = 10969,5
  • 7,89\times 690 = 5444,1
(As unidades desses produtos são \mathrm{km}^2\cdot\mathrm{m}.)

Passo 5

Somar todas as áreas \sum A_i e a soma dos produtos \sum A_i z_i.
Soma das áreas:
\sum A_i = 1,92+2,90+3,68+4,07+4,60+2,92+19,85+23,75+30,27+32,09+27,86+15,45+7,89=177,25\\ \mathrm{km}^2
Soma dos produtos:
\sum A_i z_i = 1785,6+2639,0+3275,2+3540,9+3910,0+2423,6+16078,5+18762,5+23307,9+24067,5+20337,8+10969,5+5444,1=136542,1

Passo 6

Aplicar a fórmula da média ponderada:
\bar{z}=\frac{\sum_{i} A_i z_i}{\sum_{i} A_i}=\frac{136542,1}{177,25}\\ \mathrm{m}
Fazendo a divisão:
\bar{z}\approx 770,336\\ \mathrm{m}
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (uso vírgula como separador decimal):
\bar{z}\approx 770,34\\ \mathrm{m}

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: a altitude média de cerca de 770\\ \mathrm{m} significa que a maior parte da área da bacia está concentrada nas cotas em torno de 750\text{-}800\\ \mathrm{m} (como se vê pelas grandes áreas nas classes centrais). Bem feito por ter chegado até aqui — isso é exatamente o procedimento que costumam pedir em prova: calcular ponto médio, multiplicar por área, somar e dividir pela área total.

Resposta

770,34\\ \mathrm{m}

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