Para se determinar a densidade do material de uma peça sólida, cujo formato é um prisma com base triangular (equilátera), foram feitas as medidas de sua massa (139,4 \mathrm{~g} \pm 0,8 \mathrm{~g}) e das dimensões, utilizando um paquímetro cujo nonio tinha 20 divisões. As leituras obtidas foram: lado do triângulo: 32,15 \mathrm{~mm}; altura da peça: 101,30 \mathrm{~mm}.
A partir destes dados, determine a densidade do material, e o intervalo que engloba o valor verdadeiro, com 95% de probabilidade. Explique e justifique seus cálculos.

Passo 1

O enunciado pede a densidade \rho de uma peça em forma de prisma de base triangular equilátera. Temos massa m=(139,4\pm0,8)\,\mathrm{g}, lado do triângulo a=32,15\,\mathrm{mm} e altura h=101,30\,\mathrm{mm}, medidos com um paquímetro de resolução de uma divisão de 0,05\,\mathrm{mm}. O conteúdo é cálculo de volume de prisma e propagação de incertezas para obter a densidade e seu intervalo de confiança de 95\%.

Passo 2

Primeiro, convertemos tudo para centímetros para achar o volume em \mathrm{cm}^3: \;a=32,15\,\mathrm{mm}=3,215\,\mathrm{cm}, \;h=101,30\,\mathrm{mm}=10,130\,\mathrm{cm}.
A área da base (triângulo equilátero) vale
A = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\,(3{,}215)^2 \approx 4{,}478\;\mathrm{cm}^2.
O volume do prisma é
V = A\,h \approx 4{,}478 \times 10{,}130 \approx 45{,}37\;\mathrm{cm}^3.
Logo, a densidade nominal é
\rho = \frac{m}{V} = \frac{139{,}4}{45{,}37} \approx 3{,}07\;\mathrm{g/cm}^3.

Passo 3

Agora as incertezas padrão. Para a massa, foi dada diretamente:
u(m)=0,8\;\mathrm{g}.
Para as distâncias, a resolução do paquímetro é \Delta=0,05\,\mathrm{mm}=0,005\,\mathrm{cm}, assumindo distribuição uniforme:
u(a)=u(h)=\frac{\Delta}{\sqrt{12}}=\frac{0{,}005}{\sqrt{12}}\approx0{,}00144\;\mathrm{cm}.

Passo 4

Propagamos para \rho = m/(A\,h) com A\propto a^2. A contribuição relativa de cada variável é
\frac{u(m)}{m},\quad 2\,\frac{u(a)}{a},\quad \frac{u(h)}{h}.
Calculamos cada termo:
\frac{u(m)}{m}=\frac{0{,}8}{139{,}4}\approx0{,}00574, \quad 2\,\frac{u(a)}{a}=2\cdot\frac{0{,}00144}{3{,}215}\approx0{,}00090, \quad \frac{u(h)}{h}=\frac{0{,}00144}{10{,}130}\approx0{,}00014.
A incerteza relativa combinada é
\frac{u(\rho)}{\rho} =\sqrt{0{,}00574^2 + 0{,}00090^2 + 0{,}00014^2} \approx0{,}00582.
Assim, a incerteza padrão de \rho é
u(\rho)=0{,}00582\times3{,}07\approx0{,}018\;\mathrm{g/cm}^3.

Passo 5

Para 95\% de probabilidade, usamos fator de cobertura k=2:
U = k\,u(\rho)\approx2\times0{,}018=0{,}036\;\mathrm{g/cm}^3.
O intervalo de confiança fica
\rho = 3{,}07\pm0{,}04\;\mathrm{g/cm}^3 \quad\bigl(\text{ou seja }[3{,}03;\,3{,}11]\bigr).

Resposta

A densidade é \rho=(3,07\pm0,04)\,\mathrm{g/cm}^3 com 95\% de probabilidade de conter o valor verdadeiro.

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