Na determinação da área de uma superfície triangular, foram realizadas medições da base B e da altura A do triângulo, utilizando-se uma régua milimétrica metálica (menor divisão= 0,5 \mathrm{~mm} ). Os resultados estão dispostos na tabela abaixo.
Determine o valor da área da superfície, com o respectivo intervalo de confiança. Explique e justifique seus cálculos.
B(\mathrm{~mm}) 40,2 39,8 40,1 40,5 40,0 39,9 40,2 40,4 40,3 40,0
A(\mathrm{~mm}) 25,3 25,4 24,9 25,1 25,0 24,8 25,2 25,1 25,0 24,9

Passo 1

O enunciado pede a área de um triângulo S=\tfrac12 B\,A, onde foram feitas n=10 medições de base B e altura A com régua de resolução a=0,5 mm. O conteúdo envolve estatística básica (média e desvio-padrão), incertezas tipo A (aleatória) e tipo B (resolução) e propagação dessas incertezas para S, de modo a obter um intervalo de confiança (IC) de 95\%.

Passo 2

Calcular média e desvio-padrão amostral de B e A:
\overline{B}=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}B_i=40{,}14\text{ mm},\quad s_B=\sqrt{\frac1{n-1}\sum(B_i-\overline{B})^2}=0{,}222\text{ mm},
\overline{A}=\frac1{10}\sum_{i=1}^{10}A_i=25{,}07\text{ mm},\quad s_A=\sqrt{\frac1{n-1}\sum(A_i-\overline{A})^2}=0{,}189\text{ mm}.

Passo 3

Determinar as incertezas padrão das médias:
  • Incerteza tipo A (aleatória)
u_{B,\mathrm{A}}=\frac{s_B}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}222}{\sqrt{10}}=0{,}0703\text{ mm},\quad u_{A,\mathrm{A}}=\frac{s_A}{\sqrt{10}}=0{,}0597\text{ mm}.
  • Incerteza tipo B (resolução) como distribuição uniforme de semi-faixa a/2=0{,}25 mm, cuja incerteza padrão é a/(2\sqrt{3}). Para a média de n medidas, assume-se independência e divide-se por \sqrt{n}:
u_{B,\mathrm{B}}=\frac{0{,}25}{\sqrt{3\,n}}=0{,}25/(\sqrt{3}\sqrt{10})=0{,}0456\text{ mm},
u_{A,\mathrm{B}}=0{,}0456\text{ mm}.
  • Incerteza combinada das médias
u_B=\sqrt{u_{B,\mathrm{A}}^2+u_{B,\mathrm{B}}^2} =\sqrt{0{,}0703^2+0{,}0456^2}=0{,}0838\text{ mm},
u_A=\sqrt{0{,}0597^2+0{,}0456^2}=0{,}0752\text{ mm}.

Passo 4

Calcular S e sua incerteza pela propagação:
S=\frac12\,\overline{B}\,\overline{A} =\tfrac12\cdot40{,}14\cdot25{,}07 =503{,}15\text{ mm}^2.
As derivadas são \partial S/\partial B=\overline{A}/2 e \partial S/\partial A=\overline{B}/2. Logo
u_S =\sqrt{\Bigl(\frac{\overline{A}}2\,u_B\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{\overline{B}}2\,u_A\Bigr)^2} =\sqrt{(12{,}535\cdot0{,}0838)^2+(20{,}07\cdot0{,}0752)^2} =1{,}84\text{ mm}^2.

Passo 5

Para 95\% de confiança usa-se fator de cobertura k\approx2, dando incerteza expandida
U= k\,u_S \approx2\cdot1{,}84=3{,}68\text{ mm}^2.
O intervalo de confiança é
S\pm U =503{,}15\pm3{,}68 \;\longrightarrow\; [499{,}47,\;506{,}83]\text{ mm}^2.

Resposta

503,15 m m^{2} \pm 3,68 m m^{2} (IC de 95 %: 499,47 m m^{2} a 506,83 m m^{2})

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