Determinar a densidade de uma rodovia que apresenta um fluxo de tráfego de 2.300 vesculos/h com uma corrente de tráfego com velocidade média de 68 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. ( 1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a densidade da rodovia dada a taxa de fluxo e a velocidade média. Os dados fornecidos são:
  • fluxo de tráfego: q = 2300\\ \text{veículos/h}í;
  • velocidade média: v = 68\\ \text{km/h}.
    A pergunta é: qual é a densidade k (em \text{veículos/km}í) correspondente a esses valores?

Passo 2

Vamos entender o que cada grandeza significa (sem pressa, devagarinho):
  • q (fluxo ou corrente) é o número de veículos que passam por um ponto da estrada por unidade de tempo; aqui está em \text{veículos/h}í.
  • k (densidade) é o número de veículos por unidade de comprimento da via; aqui queremos em \text{veículos/km}í.
  • v (velocidade média) é a velocidade média dos veículos, em \text{km/h}.
Intuição simples: se numa estrada há k veículos por quilómetro e cada veículo percorre, em média, v quilómetros por hora, então em uma hora atravessam um ponto da estrada um total de k multiplicado por v veículos. Isso dá a relação fundamental do tráfego:
q = k \, v.
Vou explicar de novo com um exemplo numérico simples: se houvesse 10 veículos por km ( k=10) e todos fossem a 60\\ \text{km/h} ( v=60), então em uma hora cada veículo percorre 60\\ \text{km}, ou melhor visto: a porção de estrada de comprimento 60\\ \text{km} contém k\cdot60=600 veículos, logo 600 veículos passam por um ponto em uma hora — isto é q=600\\ \text{veículos/h}í. A fórmula q=k v captura isso.

Passo 3

Isolando k na fórmula q = k v obtemos a densidade:
k = \frac{q}{v}.
Observe as unidades: \dfrac{\text{veículos/h}}{\text{km/h}} = \text{veículos/km}íí (as horas cancelam), exatamente o que queremos.

Passo 4

Substituindo os valores dados:
k = \frac{2300}{68}\\ \text{veículos/km}.í
Para facilitar a divisão, simplifico dividindo numerador e denominador por 4:
k = \frac{2300}{68} = \frac{575}{17}\\ \text{veículos/km}.í

Passo 5

Fazer a divisão 575\div17 manualmente para obter a forma decimal (mostrando o passo a passo):
  • 17\times33 = 561, resto 575-561=14. Então a parte inteira é 33.
  • Passando para decimais: resto 14 vira 140 (colocando vírgula).
  • 17\times8=136, resto 140-136=4 → primeiro decimal 8.
  • Resto 4 vira 40. 17\times2=34, resto 6 → segundo decimal 2.
  • Resto 6 vira 60. 17\times3=51, resto 9 → terceiro decimal 3.
  • Resto 9 vira 90. 17\times5=85, resto 5 → quarto decimal 5.
  • Resto 5 vira 50. 17\times2=34, resto 16 → quinto decimal 2.
  • Resto 16 vira 160. 17\times9=153, resto 7 → sexto decimal 9.
  • Resto 7 vira 70. 17\times4=68, resto 2 → sétimo decimal 4.
  • Resto 2 vira 20. 17\times1=17, resto 3 → oitavo decimal 1.
  • Resto 3 vira 30. 17\times1=17, resto 13 → nono decimal 1.
  • Resto 13 vira 130. 17\times7=119, resto 11 → décimo decimal 7.
  • Continua e evidencia que a sequência decimal é periódica (de fato 575/17 \approx 33,8235294117647\ldots com repetição).
Arredondando para duas casas decimais:
k \approx 33,82\\ \text{veículos/km}.í
Também podemos arredondar para um valor inteiro se for mais prático na prova: k \approx 34\\ \text{veículos/km}.í

Passo 6

Interpretação (útil para a prova e para entender o resultado): k\approx 33{,}82\\ \text{veículos/km}í significa, em média, cerca de 34 veículos por cada quilómetro de pista. Se quiser saber o espaçamento médio entre veículos (distância média entre dois veículos consecutivos), basta inverter a densidade:
\text{espaçamento médio} = \frac{1}{k} \\ \text{km/veículo}.çéí
Com k\approx 33{,}82:
\frac{1}{33{,}82}\\ \text{km/veículo} \approx 0{,}0296\\ \text{km/veículo} = 29{,}6\\ \text{m/veículo}.ííí
Ou seja, em média há um veículo a cada cerca de 30\\ \text{m} — uma maneira concreta de visualizar a densidade na estrada.
Força aí: já sabe usar a relação fundamental q=k v — é uma das ferramentas mais úteis em questões de tráfego!

Resposta

k \approx 33{,}82\\ \text{veículos/km}í

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