Determinar a derivada de cada função y=f(x) definida abaixo:
y=(\arctan x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = (\arctan x)^{x}
O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para isso, vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados:
\ln y = x \,\ln\bigl(\arctan x\bigr).
Derivando implicitamente em relação a x:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl[x\,\ln(\arctan x)\bigr] = 1\cdot \ln(\arctan x) + x\cdot \frac{1}{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Isolando y':
y' = y \,\Biggl[\ln(\arctan x) + \frac{x}{(1+x^2)\,\arctan x}\Biggr].
Substituindo y=(\arctan x)^x de volta:

Resposta

f'(x) = (\arctan x)^{x}\,\Biggl[\ln\bigl(\arctan x\bigr) + \frac{x}{(1+x^2)\,\arctan x}\Biggr].

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