Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
f(x)=x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Função dada: f(x)=x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}.\n
  • Pedido: determinar a derivada f'(x), isto é, a função que fornece a taxa de variação de f em cada ponto x.\n
  • Informação útil extra: a raiz cúbica aparece na forma \sqrt[3]{x^{2}}, que pode ser reescrita com expoente racional. Não há figura nem outras condições.

Passo 2

Entender e simplificar a expressão antes de derivar (trocar radical por potência)\n
Explicar a regra: para números reais e raciocínios com raiz cúbica, vale a identidade \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}. Além disso, como a raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar, podemos também usar a notação de potência fracionária consistente: (x^{2})^{1/3}=x^{2/3} quando interpretamos x^{2/3} como (\sqrt[3]{x})^{2} — ambas as formas coincidem para todos os x\in\mathbb{R}.\n
Aplicando isso à função:
f(x)=x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2}\,(x^{2})^{1/3}=x^{2}\,x^{2/3}.

Passo 3

Somar expoentes (propriedade das potências) e obter uma única potência\n
Explicar a regra: quando multiplicamos potências de mesma base, soma-se os expoentes. Aqui a base é x e os expoentes são 2 e 2/3. Então
f(x)=x^{2}\,x^{2/3}=x^{\,2+\tfrac{2}{3}}.
Calcular a soma:
2+\tfrac{2}{3}=\tfrac{6}{3}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{3}.
Portanto
f(x)=x^{8/3}.

Passo 4

Apresentar a regra de derivação que vamos usar (regra da potência)\n
Regra da potência (explicação didática): para uma função do tipo x^{n}, com n qualquer número real, a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui, a variável x é a base que depende de x e n é o expoente. A fórmula significa: multiplicar pela potência original n e reduzir o expoente em 1. Essa regra pode ser aplicada diretamente em potências com expoentes fracionários (como \tfrac{8}{3}), desde que a potência esteja bem definida para os x considerados; no nosso caso a expressão x^{8/3} é bem definida para todos x\in\mathbb{R} usando a raiz cúbica real.

Passo 5

Aplicar a regra da potência ao nosso f(x)=x^{8/3}\n
Usando a fórmula da regra da potência, com n=\tfrac{8}{3}:
f'(x)=\frac{8}{3}\,x^{\tfrac{8}{3}-1}.
Calcular o novo expoente:
\tfrac{8}{3}-1=\tfrac{8}{3}-\tfrac{3}{3}=\tfrac{5}{3}.
Logo
f'(x)=\frac{8}{3}\,x^{5/3}.

Passo 6

Observações sobre domínio e diferenciabilidade (pequena verificação)\n
  • A expressão x^{5/3} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} quando interpretada com raiz cúbica (índice ímpar), portanto a fórmula \dfrac{8}{3}x^{5/3} vale para todos os x reais.\n
  • Em x=0 a derivada vale \dfrac{8}{3}\cdot 0^{5/3}=0. Pode-se confirmar pelo limite do diferencial: \lim_{h\to0}\dfrac{h^{8/3}}{h}=\lim_{h\to0}h^{5/3}=0, logo a função é diferenciável em 0 e a derivada é 0.\n
  • Se quiser ver por outro caminho (confirmação), dava para aplicar regra do produto e cadeia na forma original x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}; o resultado final coincide com \dfrac{8}{3}x^{5/3}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{8}{3}\,x^{5/3}

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