Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado\n
- Função dada:
.\n - Pedido: determinar a derivada
, isto é, a função que fornece a taxa de variação de em cada ponto .\n - Informação útil extra: a raiz cúbica aparece na forma
, que pode ser reescrita com expoente racional. Não há figura nem outras condições.
Passo 2
Entender e simplificar a expressão antes de derivar (trocar radical por potência)\n
Explicar a regra: para números reais e raciocínios com raiz cúbica, vale a identidade . Além disso, como a raiz cúbica é uma raiz de índice ímpar, podemos também usar a notação de potência fracionária consistente:
quando interpretamos
como
— ambas as formas coincidem para todos os
.\n
Aplicando isso à função:
Explicar a regra: para números reais e raciocínios com raiz cúbica, vale a identidade
Aplicando isso à função:
Passo 3
Somar expoentes (propriedade das potências) e obter uma única potência\n
Explicar a regra: quando multiplicamos potências de mesma base, soma-se os expoentes. Aqui a base é e os expoentes são
e
. Então
Explicar a regra: quando multiplicamos potências de mesma base, soma-se os expoentes. Aqui a base é
Calcular a soma:
Portanto
Passo 4
Apresentar a regra de derivação que vamos usar (regra da potência)\n
Regra da potência (explicação didática): para uma função do tipo , com
qualquer número real, a derivada é
Regra da potência (explicação didática): para uma função do tipo
Aqui, a variável
é a base que depende de
e
é o expoente. A fórmula significa: multiplicar pela potência original
e reduzir o expoente em
. Essa regra pode ser aplicada diretamente em potências com expoentes fracionários (como
), desde que a potência esteja bem definida para os
considerados; no nosso caso a expressão
é bem definida para todos
usando a raiz cúbica real.
Passo 5
Aplicar a regra da potência ao nosso
\n
Usando a fórmula da regra da potência, com :
Usando a fórmula da regra da potência, com
Calcular o novo expoente:
Logo
Passo 6
Observações sobre domínio e diferenciabilidade (pequena verificação)\n
- A expressão
está bem definida para todo quando interpretada com raiz cúbica (índice ímpar), portanto a fórmula vale para todos os reais.\n - Em
a derivada vale . Pode-se confirmar pelo limite do diferencial: , logo a função é diferenciável em e a derivada é .\n - Se quiser ver por outro caminho (confirmação), dava para aplicar regra do produto e cadeia na forma original
; o resultado final coincide com .