Calcule os limites indicados:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável vai para
. - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é muito comum para limites do tipo
tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto; depois calcular o limite do logaritmo e, por fim, aplicar exponencial. Vou aplicar isso aqui, explicando cada passo com calma.
Passo 3
Sejam
o limite procurado. Supondo que o limite exista e seja positivo, podemos escrever
Tomando o logaritmo natural, definimos
desde que o limite do lado direito exista (ou seja, tratamos primeiro o limite do logaritmo).
Passo 4
Vamos separar o produto:
Analisaremos as duas parcelas quando
.
Passo 5
Para a primeira parcela use uma substituição simples: ponha
. Então, quando
tem-se
e
. Então
Conhecemos (e vamos justificar) o limite padrão
Uma justificativa rápida por L’Hôpital: quando
temos forma
, derivando numerador e denominador obtemos
, cujo limite quando
é
. Logo
Portanto
Passo 6
A segunda parcela é mais simples:
pois
quando
.
Passo 7
Somando os limites das parcelas (uma vale
e a outra vale
) obtemos
Logo
.