Calcule os limites indicados:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a +\infty da função
\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}.
Informações dadas:
  • A expressão é \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x+1}.
  • A variável vai para +\infty.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): é muito comum para limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x} tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto; depois calcular o limite do logaritmo e, por fim, aplicar exponencial. Vou aplicar isso aqui, explicando cada passo com calma.

Passo 3

Sejam L o limite procurado. Supondo que o limite exista e seja positivo, podemos escrever
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}.
Tomando o logaritmo natural, definimos
\ln L=\lim_{x\to+\infty}\left(x+1\right)\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right),
desde que o limite do lado direito exista (ou seja, tratamos primeiro o limite do logaritmo).

Passo 4

Vamos separar o produto:
\left(x+1\right)\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) = x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) \;+\; \ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Analisaremos as duas parcelas quando x\to+\infty.

Passo 5

Para a primeira parcela use uma substituição simples: ponha t=\dfrac{2}{x}. Então, quando x\to+\infty tem-se t\to 0^+ e x=\dfrac{2}{t}. Então
x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right) = \frac{2}{t}\ln(1+t) = 2\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Conhecemos (e vamos justificar) o limite padrão
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Uma justificativa rápida por L’Hôpital: quando t\to0 temos forma 0/0, derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{1/(1+t)}{1}, cujo limite quando t\to0 é 1. Logo
\lim_{t\to0}2\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}=2\cdot 1=2.
Portanto
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)=2.

Passo 6

A segunda parcela é mais simples:
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right)=\ln(1+0)=0,
pois \dfrac{2}{x}\to0 quando x\to+\infty.

Passo 7

Somando os limites das parcelas (uma vale 2 e a outra vale 0) obtemos
\ln L = 2 + 0 = 2.
Logo L=\mathrm{e}^{\,2}.

Resposta

e^{2}

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