Determinar as derivada laterais em x_{0}, caso existam, das funções dadas a seguir.
08) f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3 x^{2}, \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3x^{2}\, e pede para determinar as derivadas laterais em x_{0}. O enunciado escreveu x_{0}=x, que está ambíguo; vou interpretar aqui que o ponto pedido é x_{0}=0 (este é o caso mais comum para esse tipo de exercício). Então, o que temos e o que se pede:
  • Função: \,f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3x^{2}=\lvert x\rvert^{2/3}-3x^{2}.
  • Ponto onde queremos as derivadas laterais: \,x_{0}=0.
  • Pedido: calcular a derivada à direita \,f_{+}'(0) e a derivada à esquerda \,f_{-}'(0), caso existam.

Passo 2

Definição (intuição e fórmula) das derivadas laterais:
  • A derivada à direita em x_{0} é o limite
f_{+}'(x_{0})=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
  • A derivada à esquerda em x_{0} é o limite
f_{-}'(x_{0})=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Se esses limites existirem como números finitos, são as derivadas laterais; se divergem para \pm\infty dizemos que a derivada lateral não existe como número finito (podemos ainda indicar que divergem para infinito).

Passo 3

Calcular o valor da função em 0:
f(0)=\sqrt[3]{0^{2}}-3\cdot0^{2}=0.

Passo 4

Calcular a derivada à direita em 0. Usamos a definição com h>0:
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h^{2}}-3h^{2}}{h}.
Como h>0 temos \sqrt[3]{h^{2}}=h^{2/3}. Então
\frac{\sqrt[3]{h^{2}}-3h^{2}}{h}=\frac{h^{2/3}}{h}-3h=\;h^{-1/3}-3h.
Agora tomamos o limite quando h\to0^{+}:
\lim_{h\to0^{+}}\big(h^{-1/3}-3h\big)=\lim_{h\to0^{+}}h^{-1/3}-\lim_{h\to0^{+}}3h=+\infty-0=+\infty.
Portanto a derivada à direita em 0 diverge para +\infty; não existe como número finito.

Passo 5

Calcular a derivada à esquerda em 0. Use h<0. É útil pôr h=-t com t>0. Para h<0 temos \sqrt[3]{h^{2}}=\sqrt[3]{(-t)^{2}}=t^{2/3}. O quociente fica
\frac{\sqrt[3]{h^{2}}-3h^{2}}{h}=\frac{t^{2/3}-3t^{2}}{-t}=-t^{-1/3}+3t.
Agora tomamos t\to0^{+} (equivalente a h\to0^{-}):
\lim_{t\to0^{+}}\big(-t^{-1/3}+3t\big)=-\infty+0=-\infty.
Então a derivada à esquerda em 0 diverge para -\infty; não existe como número finito.

Passo 6

Interpretação e comportamento em outros pontos:
  • Em x=0 as derivadas laterais têm sinais opostos e são infinitas ( +\infty à direita e -\infty à esquerda). Isso significa que a derivada no ponto 0 não existe (não existe finita) e a curva tem uma espécie de “cúspide vertical” em 0.
  • Para x\neq0 a função é diferenciável e podemos derivar explicitamente escrevendo \sqrt[3]{x^{2}}=\lvert x\rvert^{2/3}. Usando a regra da potência e o sinal:
    • Se x>0,
    f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-6x.
    • Se x<0,
    f'(x)=-\frac{2}{3}(-x)^{-1/3}-6x.Essas expressões vêm de \dfrac{d}{dx}\lvert x\rvert^{2/3}=\dfrac{2}{3}\lvert x\rvert^{-1/3}\operatorname{sgn}(x) e da derivada de -3x^{2} que é -6x.

Resposta

f_{+}'(0)=+\infty
f_{-}'(0)=-\infty

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