Determinar as derivada laterais em
, caso existam, das funções dadas a seguir.
08)
08)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para determinar as derivadas laterais em
. O enunciado escreveu
, que está ambíguo; vou interpretar aqui que o ponto pedido é
(este é o caso mais comum para esse tipo de exercício). Então, o que temos e o que se pede:
- Função:
- Ponto onde queremos as derivadas laterais:
. - Pedido: calcular a derivada à direita
e a derivada à esquerda , caso existam.
Passo 2
Definição (intuição e fórmula) das derivadas laterais:
- A derivada à direita em
é o limite
- A derivada à esquerda em
é o limite
Se esses limites existirem como números finitos, são as derivadas laterais; se divergem para
dizemos que a derivada lateral não existe como número finito (podemos ainda indicar que divergem para infinito).
Passo 3
Calcular o valor da função em
:
Passo 4
Calcular a derivada à direita em
. Usamos a definição com
:
Como
temos
. Então
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto a derivada à direita em
diverge para
; não existe como número finito.
Passo 5
Calcular a derivada à esquerda em
. Use
. É útil pôr
com
. Para
temos
. O quociente fica
Agora tomamos
(equivalente a
):
Então a derivada à esquerda em
diverge para
; não existe como número finito.
Passo 6
Interpretação e comportamento em outros pontos:
- Em
as derivadas laterais têm sinais opostos e são infinitas ( à direita e à esquerda). Isso significa que a derivada no ponto não existe (não existe finita) e a curva tem uma espécie de “cúspide vertical” em . - Para
a função é diferenciável e podemos derivar explicitamente escrevendo . Usando a regra da potência e o sinal: - Se
,
- Se
,
Essas expressões vêm de e da derivada de que é . - Se