Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
02)
.
02)
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
- Função:
. - Pedido: determinar
(a derivada em relação a ).
Informações relevantes que temos do enunciado: - A expressão contém uma potência racional e um produto envolvendo
e . - A raiz cúbica está aplicada a
, e como para todo , não há problema de domínio real aqui.
Passo 2
Vamos simplificar a função usando regras de potência para tornar a diferenciação direta.
- Escrever
como . Então
- Como estamos multiplicando potências com a mesma base
, somam-se os expoentes:
- Podemos também reescrever
como (observando que para números reais negativos a interpretação é via raiz cúbica, isto é, ). Assim, uma forma prática é
Passo 3
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Regra de potência (para potências de
): se com real, então . Aqui caso usemos . - Regra da cadeia (quando a função é composta): se
, então
Explicando: pega-se a derivada da função externa
avaliada na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Vamos aplicar uma dessas abordagens (as duas são equivalentes); usarei a regra da cadeia aplicada à forma para mostrar todos os passos.
Vamos aplicar uma dessas abordagens (as duas são equivalentes); usarei a regra da cadeia aplicada à forma
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia explícita:
- Defina a função interna
e a externa onde . - Derivadas separadas:
-
. - Usando regra de potência em
: .
-
- Pela regra da cadeia,
- Multiplicando os coeficientes:
Passo 5
Simplificar a expressão final e comentar domínio/signo:
- Podemos reescrever
como , porque no sentido real (para negativo a interpretação é pela raiz cúbica), então
- Portanto uma forma mais simples é
- Observação sobre sinais: para
, é bem definido e negativo (já que a raiz cúbica de um número negativo é negativa), então a fórmula vale para todos os . Em a expressão dá , compatível com cálculo direto pela cadeia.
Passo 6
Verificação rápida alternativa (economizando passos na prova):
- Se você preferir, depois de simplificar para
aplica diretamente a regra de potência:
o que confirma o resultado anterior.
Passo 7
Dica para a prova e como apresentar:
- Mostre a simplificação inicial
ou e aplique a regra de potência; ou use a cadeia com e . Escreva claramente a derivada final e, se quiser, mencione que a expressão é válida para todos os reais porque envolve raízes cúbicas de números reais não negativos no processo de simplificação.