Determinar a derivada das funções dadas a seguir.
02) f(x)=x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
  • Função: f(x)=x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}.
  • Pedido: determinar f'(x) (a derivada em relação a x).
    Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão contém uma potência racional e um produto envolvendo x^{2} e \sqrt[3]{x^{2}}.
  • A raiz cúbica está aplicada a x^{2}, e como x^{2}\ge 0 para todo x, não há problema de domínio real aqui.

Passo 2

Vamos simplificar a função usando regras de potência para tornar a diferenciação direta.
  • Escrever \sqrt[3]{x^{2}} como (x^{2})^{1/3}. Então
f(x)=x^{2}\,(x^{2})^{1/3}.
  • Como estamos multiplicando potências com a mesma base x^{2}, somam-se os expoentes:
x^{2}\,(x^{2})^{1/3}=(x^{2})^{1 + 1/3}=(x^{2})^{4/3}.
  • Podemos também reescrever (x^{2})^{4/3} como x^{8/3} (observando que para números reais negativos a interpretação é via raiz cúbica, isto é, x^{8/3}=\sqrt[3]{x^{8}}=|x|^{8/3}). Assim, uma forma prática é
f(x)=(x^{2})^{4/3}=x^{8/3}.

Passo 3

Escolha do método e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma clara):
  • Regra de potência (para potências de x): se y=x^{n} com n real, então y'=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac{8}{3} caso usemos f(x)=x^{8/3}.
  • Regra da cadeia (quando a função é composta): se f(x)=g(h(x)), então
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Explicando: pega-se a derivada da função externa g avaliada na interna h(x) e multiplica-se pela derivada da função interna h.
Vamos aplicar uma dessas abordagens (as duas são equivalentes); usarei a regra da cadeia aplicada à forma (x^{2})^{4/3} para mostrar todos os passos.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia explícita:
  • Defina a função interna h(x)=x^{2} e a externa g(u)=u^{4/3} onde u=h(x).
  • Derivadas separadas:
    • h'(x)=2x.
    • Usando regra de potência em g(u)=u^{4/3}: g'(u)=\dfrac{4}{3}u^{1/3}.
  • Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\left(\dfrac{4}{3}(x^{2})^{1/3}\right)\cdot(2x).
  • Multiplicando os coeficientes:
f'(x)=\dfrac{8}{3}\,x\,(x^{2})^{1/3}.

Passo 5

Simplificar a expressão final e comentar domínio/signo:
  • Podemos reescrever x\,(x^{2})^{1/3} como x^{5/3}, porque (x^{2})^{1/3}=(x^{2/3}) no sentido real (para x negativo a interpretação é pela raiz cúbica), então
x\,(x^{2})^{1/3}=x^{1}\cdot x^{2/3}=x^{1+2/3}=x^{5/3}.
  • Portanto uma forma mais simples é
f'(x)=\dfrac{8}{3}\,x^{5/3}.
  • Observação sobre sinais: para x<0, x^{5/3}=\sqrt[3]{x^{5}} é bem definido e negativo (já que a raiz cúbica de um número negativo é negativa), então a fórmula vale para todos os x\in\mathbb{R}. Em x=0 a expressão dá f'(0)=0, compatível com cálculo direto pela cadeia.

Passo 6

Verificação rápida alternativa (economizando passos na prova):
  • Se você preferir, depois de simplificar para f(x)=x^{8/3} aplica diretamente a regra de potência:
f'(x)=\dfrac{8}{3}\,x^{8/3-1}=\dfrac{8}{3}\,x^{5/3},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Dica para a prova e como apresentar:
  • Mostre a simplificação inicial f(x)=(x^{2})^{4/3} ou f(x)=x^{8/3} e aplique a regra de potência; ou use a cadeia com h(x)=x^{2} e g(u)=u^{4/3}. Escreva claramente a derivada final e, se quiser, mencione que a expressão é válida para todos os reais porque envolve raízes cúbicas de números reais não negativos no processo de simplificação.

Resposta

f'(x)=\dfrac{8}{3}\,x^{5/3}

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