1. Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right), em cada item:
  2. f(x)=\sqrt{x}, \quad x_{0}=2
  3. f(x)=\sqrt{x}, \quad x_{0}=a
  4. f(x)=\sqrt[3]{x}, \quad x_{0}=8
  5. f(x)=x \operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=0
  6. f(x)=x \ln (x), x_{0}=a
  7. f(x)=\operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=\pi
  8. f(x)=\operatorname{sen}(x), \quad x_{0}=x
  9. f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3 x^{2}, \quad x_{0}=x
  10. f(x)=x e^{x}, \quad x_{0}=x
  11. f(x)=x^{2} \ln (x), \quad x_{0}=x

Passo 1

O enunciado pede: "Usando a definição de derivada, determine f^{\prime}\left(x_{0}\right)" para dez itens distintos. Vou listar claramente cada função e o ponto x_{0} que nos foi dado:
  1. f(x)=\sqrt{x},\quad x_{0}=2
  2. f(x)=\sqrt{x},\quad x_{0}=a
  3. f(x)=\sqrt[3]{x},\quad x_{0}=8
  4. f(x)=x\sin(x),\quad x_{0}=0
  5. f(x)=x\ln(x),\quad x_{0}=a
  6. f(x)=\sin(x),\quad x_{0}=\pi
  7. f(x)=\sin(x),\quad x_{0}=x (ou seja, pedem f'(x) geral)
  8. f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3x^{2},\quad x_{0}=x (pedem f'(x) geral)
  9. f(x)=x e^{x},\quad x_{0}=x (pedem f'(x) geral)
  10. f(x)=x^{2}\ln(x),\quad x_{0}=x (pedem f'(x) geral)
Essas são todas as informações do enunciado. A partir daqui vou calcular cada derivada usando a definição por limite
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},
fazendo os passos algébricos e usando limites conhecidos (por exemplo \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1, \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1, \lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1) quando necessário.

Passo 2

Primeiro eu explico a definição de derivada que vou usar: para uma função f e ponto x_0,
f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Neste limite, h é a variação pequena em x. A ideia é fazer manipulações algébricas no quociente diferencial para obter uma expressão cujo limite seja fácil de avaliar. Em alguns casos uso truques como racionalizar raízes, usar identidades trigonométricas ou reescrever diferenças de logaritmos/exp para identificar limites padrões.
Agora calculo cada item passo a passo.

Passo 3

Item 01: f(x)=\sqrt{x}, x_{0}=2.
Usando a definição,
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}.
Racionalizo multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2+h}+\sqrt{2}:
\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h} =\frac{(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})} =\frac{2+h-2}{h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})} =\frac{1}{\sqrt{2+h}+\sqrt{2}}.
Tomando o limite h\to0,
f'(2)=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 4

Item 02: f(x)=\sqrt{x}, x_{0}=a (supondo a>0).
Mesma técnica geral:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} =\frac{1}{2\sqrt{a}}.
Portanto a derivada geral de \sqrt{x} em a é \dfrac{1}{2\sqrt{a}}.

Passo 5

Item 03: f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}, x_{0}=8.
Faço o cálculo usando a identidade de diferença de cubos. Defina u=(8+h)^{1/3} e v=8^{1/3}=2. Observa-se que u^{3}-v^{3}=(8+h)-8=h. Então
\frac{u-v}{h}=\frac{1}{u^{2}+uv+v^{2}}.
Voltando à definição,
f'(8)=\lim_{h\to0}\frac{(8+h)^{1/3}-8^{1/3}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{(8+h)^{2/3}+(8+h)^{1/3}\cdot8^{1/3}+8^{2/3}}.
Quando h\to0 temos (8+h)^{1/3}\to2, então o denominador tende a 2^{2}+2\cdot2+2^{2}=4+4+4=12. Logo
f'(8)=\frac{1}{12}.
(Observação: em geral (x^{1/3})'=\tfrac{1}{3}x^{-2/3}; para x=8 isso dá \tfrac{1}{3}\cdot8^{-2/3}=\tfrac{1}{12}.)

Passo 6

Item 04: f(x)=x\sin x,\quad x_{0}=0.
Usando definição,
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(0+h)\sin(0+h)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h\sin h}{h}=\lim_{h\to0}\sin h.
Como \lim_{h\to0}\sin h=0, segue que
f'(0)=0.

Passo 7

Item 05: f(x)=x\ln x,\quad x_{0}=a (assumindo a>0).
Começo pela definição:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{(a+h)\ln(a+h)-a\ln a}{h}.
Reescrevo a diferença como
\frac{(a+h)\big(\ln(a+h)-\ln a\big)+\ln a\cdot h}{h} =\frac{a+h}{h}\big(\ln(a+h)-\ln a\big)+\ln a.
Escrevo \ln(a+h)-\ln a=\ln\!\big(1+\tfrac{h}{a}\big). Então
\frac{a+h}{h}\ln\!\Big(1+\frac{h}{a}\Big) =\frac{a+h}{a}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{a})}{\frac{h}{a}}.
Quando h\to0 temos \dfrac{a+h}{a}\to1 e \dfrac{\ln(1+t)}{t}\to1 quando t\to0. Portanto o primeiro termo tende a 1. Somando \ln a obtemos
f'(a)=1+\ln a.

Passo 8

Item 06: f(x)=\sin x,\quad x_{0}=\pi.
Use a definição:
f'(\pi)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(\pi+h)-\sin\pi}{h}.
Como \sin\pi=0 e \sin(\pi+h)= -\sin h, o quociente é \dfrac{-\sin h}{h}. Logo
f'(\pi)=\lim_{h\to0}\frac{-\sin h}{h}=-1.

Passo 9

Item 07: f(x)=\sin x,\quad x_{0}=x (ou seja, queremos f'(x) geral).
Usando definição para ponto genérico x:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.
Aplicando a identidade trigonométrica \sin(x+h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h, divide-se por h:
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Ao passar para o limite h\to0 conhecemos \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0. Assim
f'(x)=\sin x\cdot 0 + \cos x\cdot 1=\cos x.

Passo 10

Item 08: f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}-3x^{2}, x_{0}=x (querem f'(x)).
Primeiro reescrevo \sqrt[3]{x^{2}}=(x^{2})^{1/3}=x^{2/3}. Então f(x)=x^{2/3}-3x^{2}.
Para derivar x^{2/3} posso usar o resultado já obtido para x^{1/3} e a regra da cadeia/produto em forma elementar: veja x^{2/3}=(x^{1/3})^{2}. Chamando u(x)=x^{1/3}, já sabemos que u'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3} (resultado do passo 5 em forma geral). Então, por diferenciação de u(x)^2,
\frac{d}{dx}x^{2/3}=2u(x)u'(x)=2x^{1/3}\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{2}{3}x^{-1/3}.
A derivada de -3x^{2} é -6x. Portanto
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-6x.

Passo 11

Item 09: f(x)=x e^{x},\quad x_{0}=x (querem f'(x)).
Uso a definição:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)e^{x+h}-x e^{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{x}\big((x+h)e^{h}-x\big)}{h} =e^{x}\lim_{h\to0}\frac{x(e^{h}-1)+h e^{h}}{h}.
Separe em termos:
\frac{x(e^{h}-1)+h e^{h}}{h}=x\cdot\frac{e^{h}-1}{h}+e^{h}.
Tomando h\to0, \dfrac{e^{h}-1}{h}\to1 e e^{h}\to1. Logo o limite vale x\cdot1+1=x+1. Portanto
f'(x)=e^{x}(x+1).

Passo 12

Item 10: f(x)=x^{2}\ln x,\quad x_{0}=x (querem f'(x)).
Uso definição e manipulações:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}\ln(x+h)-x^{2}\ln x}{h}.
Escrevo a diferença como
\frac{\big((x+h)^{2}-x^{2}\big)\ln(x+h)+x^{2}\big(\ln(x+h)-\ln x\big)}{h}.
A primeira parte vale
\frac{(2xh+h^{2})\ln(x+h)}{h}=(2x+h)\ln(x+h)\xrightarrow[h\to0]{}2x\ln x.
A segunda parte vale
x^{2}\cdot\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=x^{2}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h} =x^{2}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}} \xrightarrow[h\to0]{}x^{2}\cdot\frac{1}{x}\cdot 1 = x.
Somando os limites das duas partes,
f'(x)=2x\ln x + x.

Resposta

  1. f'(2)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}
  2. f'(a)=\dfrac{1}{2\sqrt{a}}
  3. f'(8)=\dfrac{1}{12}
  4. f'(0)=0
  5. f'(a)=1+\ln a
  6. f'(\pi)=-1
  7. f'(x)=\cos x
  8. f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}-6x
  9. f'(x)=e^{x}(x+1)
  10. f'(x)=2x\ln x + x

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