- Usando a definição de derivada, determine
, em cada item:
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Passo 1
O enunciado pede: "Usando a definição de derivada, determine
" para dez itens distintos. Vou listar claramente cada função e o ponto
que nos foi dado:
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(ou seja, pedem geral) -
(pedem geral) -
(pedem geral) -
(pedem geral)
Essas são todas as informações do enunciado. A partir daqui vou calcular cada derivada usando a definição por limite
fazendo os passos algébricos e usando limites conhecidos (por exemplo
,
,
) quando necessário.
Passo 2
Primeiro eu explico a definição de derivada que vou usar: para uma função
e ponto
,
Neste limite,
é a variação pequena em
. A ideia é fazer manipulações algébricas no quociente diferencial para obter uma expressão cujo limite seja fácil de avaliar. Em alguns casos uso truques como racionalizar raízes, usar identidades trigonométricas ou reescrever diferenças de logaritmos/exp para identificar limites padrões.
Agora calculo cada item passo a passo.
Passo 3
Item 01:
,
.
Usando a definição,
Racionalizo multiplicando numerador e denominador por
:
Tomando o limite
,
Passo 4
Item 02:
,
(supondo
).
Mesma técnica geral:
Portanto a derivada geral de
em
é
.
Passo 5
Item 03:
,
.
Faço o cálculo usando a identidade de diferença de cubos. Defina
e
. Observa-se que
. Então
Voltando à definição,
Quando
temos
, então o denominador tende a
. Logo
(Observação: em geral
; para
isso dá
.)
Passo 6
Item 04:
.
Usando definição,
Como
, segue que
Passo 7
Item 05:
(assumindo
).
Começo pela definição:
Reescrevo a diferença como
Escrevo
. Então
Quando
temos
e
quando
. Portanto o primeiro termo tende a
. Somando
obtemos
Passo 8
Item 06:
.
Use a definição:
Como
e
, o quociente é
. Logo
Passo 9
Item 07:
(ou seja, queremos
geral).
Usando definição para ponto genérico
:
Aplicando a identidade trigonométrica
, divide-se por
:
Ao passar para o limite
conhecemos
e
. Assim
Passo 10
Item 08:
,
(querem
).
Primeiro reescrevo
. Então
.
Para derivar
posso usar o resultado já obtido para
e a regra da cadeia/produto em forma elementar: veja
. Chamando
, já sabemos que
(resultado do passo 5 em forma geral). Então, por diferenciação de
,
A derivada de
é
. Portanto
Passo 11
Item 09:
(querem
).
Uso a definição:
Separe em termos:
Tomando
,
e
. Logo o limite vale
. Portanto
Passo 12
Item 10:
(querem
).
Uso definição e manipulações:
Escrevo a diferença como
A primeira parte vale
A segunda parte vale
Somando os limites das duas partes,