Determinar a derivada das seguintes funções:
f(x)=2 x e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=2 x e^{x}.
Informações dadas: a função é expressa como produto de 2x por e^{x}. O objetivo é encontrar f'(x), a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Identificar a forma útil para resolver: a função é produto de duas funções de x. Quando temos uma função escrita como produto de duas funções, a regra direta a usar é a regra do produto. Vou apresentá-la e explicar cada parte.
Regra do produto (fórmula):
\text{Se }u(x)\text{ e }v(x)\text{ são diferenciáveis, então }(u\cdot v)'=u'v+uv'.ãáã
Explicação do que aparece:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que multiplicam entre si.
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v(x) em relação a x.
    A regra diz: derive a primeira e multiplique pela segunda, e some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Além disso, preciso destas regras básicas:
  • Derivada da exponencial: \big(e^{x}\big)'=e^{x}. Ou seja, e^{x} é igual à sua própria derivada.
  • Derivada de uma constante vezes função: \big(c\cdot g(x)\big)'=c\cdot g'(x), onde c é constante.

Passo 3

Escolher u e v para aplicar a regra do produto. Uma escolha natural:
u(x)=2x,\qquad v(x)=e^{x}.
Agora calculo as derivadas de cada uma:
u'(x)=\big(2x\big)'=2
(explicação: a derivada de x é 1, e multiplicando pela constante 2 fica 2) e
v'(x)=\big(e^{x}\big)'=e^{x}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto substituindo u, v, u' e v':
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores:
f'(x)=2\cdot e^{x} + (2x)\cdot e^{x}.

Passo 5

Fazer a simplificação/fatoração para apresentar a resposta de forma mais limpa. Em ambos os termos aparece o fator comum 2e^{x}, então fatoro:
f'(x)=2e^{x}+2x e^{x}=2e^{x}\big(1+x\big).
Também se pode escrever como
f'(x)=2e^{x}(x+1).

Passo 6

Comentário prático para prova (dica amiga): memorize o padrão que aparece com frequência:
  • \big(x e^{x}\big)'=(x+1)e^{x}.
    Então, para 2x e^{x} basta multiplicar esse padrão pela constante 2, resultando em 2(x+1)e^{x}. Isso economiza tempo na prova.

Resposta

f'(x)=2e^{x}(x+1)

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