Determinar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é expressa como produto de por
. O objetivo é encontrar
, a taxa de variação de
em relação a
.
Informações dadas: a função é expressa como produto de
Passo 2
Identificar a forma útil para resolver: a função é produto de duas funções de
. Quando temos uma função escrita como produto de duas funções, a regra direta a usar é a regra do produto. Vou apresentá-la e explicar cada parte.
Regra do produto (fórmula):
Explicação do que aparece:
-
e são as duas funções que multiplicam entre si. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
A regra diz: derive a primeira e multiplique pela segunda, e some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Além disso, preciso destas regras básicas:
- Derivada da exponencial:
. Ou seja, é igual à sua própria derivada. - Derivada de uma constante vezes função:
, onde é constante.
Passo 3
Escolher
e
para aplicar a regra do produto. Uma escolha natural:
Agora calculo as derivadas de cada uma:
(explicação: a derivada de
é
, e multiplicando pela constante
fica
) e
Passo 4
Aplicar a regra do produto substituindo
,
,
e
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Fazer a simplificação/fatoração para apresentar a resposta de forma mais limpa. Em ambos os termos aparece o fator comum
, então fatoro:
Também se pode escrever como
Passo 6
Comentário prático para prova (dica amiga): memorize o padrão que aparece com frequência:
-
.
Então, parabasta multiplicar esse padrão pela constante , resultando em . Isso economiza tempo na prova.