Questão 2. Calcule o comprimento de arco das curvas a seguir.
(a) x=3 t+5, y=7-2 t ; \quad 1 \leq t \leq 3

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica com as equações
x=3t+5,\qquad y=7-2t,
no intervalo de parâmetro \,1\le t\le 3. A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática). Para uma curva definida por parâmetro t nas formas x=x(t) e y=y(t) no intervalo [a,b], o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
O que isso quer dizer, em palavras simples:
  • Pense em dividir o intervalo de t em pedaços pequenos. Para um pedaço pequeno \Delta t a variação em x é aproximadamente \Delta x\approx \dfrac{dx}{dt}\Delta t e em y é \Delta y\approx \dfrac{dy}{dt}\Delta t.
  • O comprimento desse pequeno trecho é aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,\Delta t.
  • Somando todos os pedaços e passando ao limite, obtemos a integral acima.
    Aqui L é o comprimento pedido, t é o parâmetro e \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt} são as derivadas das funções x(t) e y(t).

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias. Como x(t)=3t+5 e y(t)=7-2t, usando que a derivada de at+b em relação a t é a, temos:
\frac{dx}{dt}=3,\qquad \frac{dy}{dt}=-2.

Passo 4

Montar o integrando substituindo as derivadas na fórmula:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} =\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Observe que o integrando é uma constante (não depende de t), o que facilita a integral.

Passo 5

Calcular a integral no intervalo 1\le t\le 3:
L=\int_{1}^{3}\sqrt{13}\;dt=\sqrt{13}\int_{1}^{3}dt=\sqrt{13}\,(3-1)=2\sqrt{13}.
Passo a passo: integral de uma constante c é c\cdot t avaliada nos limites; aqui c=\sqrt{13} e t vai de 1 a 3.

Passo 6

Checagem alternativa (intuição geométrica). As equações são lineares em t, portanto a curva é um segmento de reta. O comprimento do segmento é a distância euclidiana entre os pontos finais t=1 e t=3.
Calcular as coordenadas dos extremos:
(x(1),y(1))=(3\cdot1+5,\;7-2\cdot1)=(8,5),
(x(3),y(3))=(3\cdot3+5,\;7-2\cdot3)=(14,1).
Distância entre esses pontos:
\sqrt{(14-8)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13},
que coincide com o resultado da integral — bom sinal.

Resposta

\;2\sqrt{13}

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