Questão 2. Calcule o comprimento de arco das curvas a seguir.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá uma curva paramétrica com as equações
no intervalo de parâmetro
. A pergunta é: calcular o comprimento de arco dessa curva no intervalo dado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática). Para uma curva definida por parâmetro
nas formas
e
no intervalo
, o comprimento de arco
é dado por
O que isso quer dizer, em palavras simples:
- Pense em dividir o intervalo de
em pedaços pequenos. Para um pedaço pequeno a variação em é aproximadamente e em é . - O comprimento desse pequeno trecho é aproximadamente
. - Somando todos os pedaços e passando ao limite, obtemos a integral acima.
Aquié o comprimento pedido, é o parâmetro e são as derivadas das funções e .
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias. Como
e
, usando que a derivada de
em relação a
é
, temos:
Passo 4
Montar o integrando substituindo as derivadas na fórmula:
Observe que o integrando é uma constante (não depende de
), o que facilita a integral.
Passo 5
Calcular a integral no intervalo
:
Passo a passo: integral de uma constante
é
avaliada nos limites; aqui
e
vai de
a
.
Passo 6
Checagem alternativa (intuição geométrica). As equações são lineares em
, portanto a curva é um segmento de reta. O comprimento do segmento é a distância euclidiana entre os pontos finais
e
.
Calcular as coordenadas dos extremos:
Calcular as coordenadas dos extremos:
Distância entre esses pontos:
que coincide com o resultado da integral — bom sinal.