Resolva as sequintes equaciās diferenciais, incluindo as soluciões singulares, quando estas existirem. Classifique cada uma das EDO’s de acordo à sua linearidade.
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial dada é
. - Podemos reescrever isso como
. - O enunciado pede:
- resolver a EDO (achar a família geral de soluções),
- incluir as soluções singulares, quando existirem,
- e classificar a EDO quanto à linearidade.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação para deixar
isolado (pelo menos em forma de
):
Isto é equivalente, para os pontos onde
, a
Aqui já aparece um ponto importante: para que o lado direito seja real e não negativo (já que é um quadrado), devemos ter
ou seja,
e
têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Vou tratar as regiões de sinal separadamente quando necessário.
Passo 3
Tomo a raiz quadrada (introduzindo o sinal
que corresponde às duas possibilidades de
):
Isto transforma a EDO numa equação separável (desde que a expressão sob a raiz seja não negativa).
Passo 4
Faço separação de variáveis. Supondo uma região onde
e tratando o caso
inicialmente:
Separei as variáveis:
Passo 5
Integro ambos os lados. Uso que
e
. Assim:
onde
é constante de integração. Dividindo por
:
com
.
Passo 6
Isolo a solução explícita em
(elevo ao quadrado). Escrevendo o sinal explícito
e deixando a constante
:
com
e
. Estas curvas são soluções em regiões onde as raízes fazem sentido (ver observações sobre sinais abaixo).
Passo 7
Discussão sobre domínios e sinais (importante para aplicar na prova):
- A integração que fiz assumiu
real; portanto a forma dá soluções com e é válida quando (ou, mais precisamente, quando a combinação dentro da raiz for consistente). - Para regiões em que
a condição para ter real é ter . Nestes ramos podemos proceder analogamente definindo e , obtendo soluções da forma ou, de modo unificado, pode-se dizer que, por regiões de sinal, as soluções são obtidas pela mesma técnica de separação trocando sinais conforme necessário. Em suma: a família quadrada acima (com o ajuste de sinal/raiz) descreve todas as soluções contínuas reais locais, respeitando a condição .
Passo 8
Agora procuro soluções singulares (envelope da família de soluções). Uso o método do envelope: a família geral depende do parâmetro
; paro as curvas que são possíveis envelopes impondo
.
Da família
temos
Impondo
dá
Substituindo esse valor de
em
resulta
Assim a curva
(função identicamente zero) é envelope da família e é candidata a solução singular.
Passo 9
Verifico que
é realmente solução da equação original. Substituindo
em
obtemos
Para
isto força
, e a função constante
satisfaz isso. No ponto
a equação original é
(pois
e
), então não cria inconsistência local. Logo
é solução válida (singular) definida para todo
.
Passo 10
Classificação quanto à linearidade: a EDO original é de primeira ordem (envolve
e
sem derivadas superiores) mas NÃO é linear, porque aparece
(termo quadrático em
) e também
multiplicado por funções de
. Portanto trata-se de uma EDO não linear (não é linear em
nem em
).
Resposta
Solução geral:
, com
(em cada região onde
as raízes são reais).
Solução singular: .
Classificação: equação de primeira ordem, não linear.
Solução singular:
Classificação: equação de primeira ordem, não linear.