Resolva as sequintes equaciās diferenciais, incluindo as soluciões singulares, quando estas existirem. Classifique cada uma das EDO’s de acordo à sua linearidade.
y=x y^{\prime 2}+y^{\prime 2}

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é y = x\,y^{\prime 2} + y^{\prime 2}.
  • Podemos reescrever isso como (x+1)\,y^{\prime 2}=y.
  • O enunciado pede:
    • resolver a EDO (achar a família geral de soluções),
    • incluir as soluções singulares, quando existirem,
    • e classificar a EDO quanto à linearidade.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para deixar y' isolado (pelo menos em forma de y^{\prime 2}):
(x+1)\,y^{\prime 2}=y.
Isto é equivalente, para os pontos onde x\neq -1, a
y^{\prime 2}=\frac{y}{x+1}.
Aqui já aparece um ponto importante: para que o lado direito seja real e não negativo (já que é um quadrado), devemos ter
\frac{y}{x+1}\ge 0,
ou seja, y e x+1 têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Vou tratar as regiões de sinal separadamente quando necessário.

Passo 3

Tomo a raiz quadrada (introduzindo o sinal \pm que corresponde às duas possibilidades de y'):
y'=\pm\sqrt{\frac{y}{x+1}}.
Isto transforma a EDO numa equação separável (desde que a expressão sob a raiz seja não negativa).

Passo 4

Faço separação de variáveis. Supondo uma região onde \dfrac{y}{x+1}\ge0 e tratando o caso y\neq 0 inicialmente:
\frac{dy}{dx}=\pm\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}}.
Separei as variáveis:
\frac{dy}{\sqrt{y}}=\pm\frac{dx}{\sqrt{x+1}}.

Passo 5

Integro ambos os lados. Uso que \displaystyle\int y^{-1/2}\,dy=2\sqrt{y} e \displaystyle\int (x+1)^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x+1}. Assim:
2\sqrt{y}=\pm 2\sqrt{x+1}+C,
onde C é constante de integração. Dividindo por 2:
\sqrt{y}=\pm\sqrt{x+1}+C_{1},
com C_{1}=C/2.

Passo 6

Isolo a solução explícita em y (elevo ao quadrado). Escrevendo o sinal explícito s=\pm1 e deixando a constante C:
\sqrt{y}=s\,\sqrt{x+1}+C \quad\Rightarrow\quad y=\bigl(C+s\,\sqrt{x+1}\bigr)^{2},
com s\in\{+1,-1\} e C\in\mathbb{R}. Estas curvas são soluções em regiões onde as raízes fazem sentido (ver observações sobre sinais abaixo).

Passo 7

Discussão sobre domínios e sinais (importante para aplicar na prova):
  • A integração que fiz assumiu \sqrt{y} real; portanto a forma y=\bigl(C+s\sqrt{x+1}\bigr)^{2} dá soluções com y\ge0 e é válida quando x+1\ge0 (ou, mais precisamente, quando a combinação dentro da raiz for consistente).
  • Para regiões em que x+1<0 a condição para ter y' real é ter y\le0. Nestes ramos podemos proceder analogamente definindo u=\sqrt{-y} e \sqrt{- (x+1)}, obtendo soluções da forma y=-\bigl(C+s\,\sqrt{-(x+1)}\bigr)^{2},ou, de modo unificado, pode-se dizer que, por regiões de sinal, as soluções são obtidas pela mesma técnica de separação trocando sinais conforme necessário. Em suma: a família quadrada acima (com o ajuste de sinal/raiz) descreve todas as soluções contínuas reais locais, respeitando a condição \dfrac{y}{x+1}\ge0.

Passo 8

Agora procuro soluções singulares (envelope da família de soluções). Uso o método do envelope: a família geral depende do parâmetro C; paro as curvas que são possíveis envelopes impondo \partial y/\partial C=0.
Da família
y\text{(C)}=\bigl(C+s\sqrt{x+1}\bigr)^{2}
temos
\frac{\partial y}{\partial C}=2\bigl(C+s\sqrt{x+1}\bigr).
Impondo \partial y/\partial C=0
C=-s\sqrt{x+1}.
Substituindo esse valor de C em y\text{(C)} resulta
y=0.
Assim a curva y\equiv 0 (função identicamente zero) é envelope da família e é candidata a solução singular.

Passo 9

Verifico que y\equiv 0 é realmente solução da equação original. Substituindo y=0 em (x+1)y^{\prime 2}=y obtemos
(x+1)\,y^{\prime 2}=0.
Para x\neq -1 isto força y'=0, e a função constante y\equiv 0 satisfaz isso. No ponto x=-1 a equação original é 0=0 (pois x+1=0 e y=0), então não cria inconsistência local. Logo y\equiv 0 é solução válida (singular) definida para todo x.

Passo 10

Classificação quanto à linearidade: a EDO original é de primeira ordem (envolve y' e y sem derivadas superiores) mas NÃO é linear, porque aparece y^{\prime 2} (termo quadrático em y') e também y multiplicado por funções de x. Portanto trata-se de uma EDO não linear (não é linear em y nem em y').

Resposta

Solução geral: y=\bigl(C\pm\sqrt{x+1}\bigr)^{2}, com C\in\mathbb{R} (em cada região onde \dfrac{y}{x+1}\ge0 as raízes são reais).
Solução singular: y\equiv 0.
Classificação: equação de primeira ordem, não linear.

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