Determinar a derivada no tempo de uma grandeza instantânea é equivalente a multiplicar a sua forma fasorial por . Ou seja:
De maneira análoga, integral A partial t Asj omega
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que, no regime senoidal estacionário, derivar uma grandeza instantânea A(t) equivale a multiplicar o seu fasor As por . De forma análoga, integrar em t é dividir por .
Matéria: Análise fasorial de circuitos (uso de números complexos e exponenciais de Euler).
O que vamos precisar:
Representar o sinal A(t) como fasor usando a fórmula de Euler,
Saber como diferenciar uma exponencial complexa,
Entender que, no fim, a parte real ou imaginária volta a ser o nosso sinal físico.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sinal A(t) monoharmônico em forma complexa:
A(t) ;=; Re,As,e^jomega t,
onde é o fasor (um número complexo que carrega amplitude e fase) e pega a parte real.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação ao tempo ddtl(As,e^jomega tr) =;As;ddtl(e^jomega tr) =;As;(jomega),e^jomega t =;jomega;As,e^jomega t . Como não depende de t, só diferenciamos :
Para voltar ao sinal instantâneo, bastaria pegar a parte real, mas o truque do fasor é justamente ficar no domínio complexo. Perceba que derivar virou multiplicar por .
Passo 4
Portanto, em termos de fasor, a operação
ddt; longrightarrow; jomega
Ou seja, se o seu fasor original é , a derivada tem fasor .
Passo 5
De forma análoga, para integração em t, lembramos que
integral e^jomega t,dt = 1jomega,e^jomega t + C
No regime senoidal estacionário desprezamos a constante , então em fasor integração vira dividir por .
Resposta
Derivar em t → multiplicar o fasor por partial vec Apartial t;longrightarrow;jomega,vec As :