Determinar a derivada no tempo de uma grandeza instantânea é equivalente a multiplicar a sua forma fasorial por j omega. Ou seja:
partial Apartial t j omega As
De maneira análoga,
integral A partial t Asj omega

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, no regime senoidal estacionário, derivar uma grandeza instantânea A(t) equivale a multiplicar o seu fasor As por . De forma análoga, integrar em t é dividir por .
Matéria: Análise fasorial de circuitos (uso de números complexos e exponenciais de Euler).
O que vamos precisar:
  • Representar o sinal A(t) como fasor usando a fórmula de Euler,
  • Saber como diferenciar uma exponencial complexa,
  • Entender que, no fim, a parte real ou imaginária volta a ser o nosso sinal físico.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sinal A(t) monoharmônico em forma complexa:
A(t) ;=; Re,As,e^jomega t,
onde é o fasor (um número complexo que carrega amplitude e fase) e pega a parte real.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação ao tempo ddtl(As,e^jomega tr) =;As;ddtl(e^jomega tr) =;As;(jomega),e^jomega t =;jomega;As,e^jomega t . Como não depende de t, só diferenciamos :
Para voltar ao sinal instantâneo, bastaria pegar a parte real, mas o truque do fasor é justamente ficar no domínio complexo. Perceba que derivar virou multiplicar por .

Passo 4

Portanto, em termos de fasor, a operação
ddt; longrightarrow; jomega
Ou seja, se o seu fasor original é , a derivada tem fasor .

Passo 5

De forma análoga, para integração em t, lembramos que
integral e^jomega t,dt = 1jomega,e^jomega t + C
No regime senoidal estacionário desprezamos a constante , então em fasor integração vira dividir por .

Resposta

Derivar em t → multiplicar o fasor por partial vec Apartial t;longrightarrow;jomega,vec As :
integral vec A,dt;longrightarrow;vec Asjomega
Integrar em t → dividir o fasor por :

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