Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\cos \left(x^{2}\right) \cdot \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\operatorname{sen}(2x).
O conteúdo envolvido é a aplicação da regra do produto e da regra da cadeia, pois temos um produto de duas funções — \cos(x^2) e \operatorname{sen}(2x) — cada uma com composição interna.

Passo 2

Vamos derivar cada fator separadamente:
  1. Seja g(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr).
    Pela regra da cadeia,
g'(x) =-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).
  1. Seja h(x)=\operatorname{sen}(2x).
    Novamente pela regra da cadeia,
h'(x) =\cos(2x)\,\frac{d}{dx}(2x) =2\,\cos(2x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Substituindo g, g', h e h', temos
f'(x) =\bigl(-2x\,\sin(x^{2})\bigr)\,\operatorname{sen}(2x) +\cos(x^{2})\,(2\,\cos(2x)).

Resposta

f'(x)=-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\operatorname{sen}(2x) +2\,\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\cos(2x).

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