Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sec} (\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{sec}(\sqrt{x}). Vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro derivar a raiz quadrada e depois derivar a secante.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\sqrt{x}
e calculamos sua derivada. Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

A função externa é g(u)=\operatorname{sec}(u). Sabemos que
g'(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) =\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\,\tan\bigl(u(x)\bigr)\;\cdot u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x)=\sqrt{x} e u'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}}, obtemos
f'(x) =\operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt{x}\bigr)\;\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\operatorname{sec}(\sqrt{x})\,\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{\operatorname{sec}(\sqrt{x})\,\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.

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