Uma barra de aço com seção transversal quadrada de
está engastada nas extremidades. Se o módulo de elasticidade da barra for 210 GPa e a tensão de proporcionalidade do material for
, determine o comprimento máximo para que se possa aplicar a equação de Euler.
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o comprimento (denotado por
) limite para que a fórmula de Euler possa ser aplicada à barra.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
A barra está engastada nas duas extremidades (ou seja, ambos os extremos encastrados).
Neste passo apenas identificamos o que se pede e os dados; a resolução começa no passo seguinte.
Neste passo apenas identificamos o que se pede e os dados; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Conceito e critério usado (aula rápida e intuitiva).
A fórmula de Euler dá a carga crítica de flambagem elástica para colunas delgadas, supondo comportamento linear-elástico. A condição para que a flambagem descrita por Euler seja a falha que ocorre antes do escoamento é que a tensão crítica de flambagem seja menor ou igual à tensão de proporcionalidade
. Assim usamos a igualdade limite
A fórmula de Euler dá a carga crítica de flambagem elástica para colunas delgadas, supondo comportamento linear-elástico. A condição para que a flambagem descrita por Euler seja a falha que ocorre antes do escoamento é que a tensão crítica de flambagem
para determinar o comprimento limite
. Se
, a peça yieldaria (o material deixaria de ser linear-elástico) antes de flambear elasticamente, e a fórmula de Euler não seria aplicável.
Passo 3
Fórmula de Euler em termos de tensão crítica e explicação das variáveis.
A tensão crítica dada por Euler pode ser escrita em função do momento de inércia e da área (usando raio de giração ):
A tensão crítica dada por Euler pode ser escrita em função do momento de inércia e da área (usando raio de giração
onde:
-
é o módulo de elasticidade; -
é o comprimento efetivo da coluna (conta o condicionamento de contorno); -
é o raio de giração da seção, definido por ; -
é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem; -
é a área da seção transversal.
Para extremidades ambas engastadas, o comprimento efetivo é
Explicação rápida: encastrado-encastrado reduz a metade do comprimento eficaz em relação ao comprimento geométrico.
Colocando a condição limite
e isolando
obtemos:
Esta expressão dá o comprimento limite
(se
for maior que isso, Euler domina; se for menor, o material yielda antes).
Passo 4
Calcular
,
e
para a seção quadrada
.
Área:
Área:
Momento de inércia de uma seção quadrada de lado
em relação a um eixo cental (qualquer eixo que passe pelo centro e seja paralelo a um dos lados) é
Aqui
, então
Raio de giração:
Expliquei:
mede “quão concentrada” a área está em relação ao eixo; para seções quadradas fica
.
Passo 5
Colocar
e
nas mesmas unidades e calcular
.
Escolhemos trabalhar em porque
já está nessa unidade. Convertendo
:
Escolhemos trabalhar em
logo
Agora a razão:
Tomando a raiz:
Breve nota didática: manter unidades consistentes é crucial; por isso converti
para
.
Passo 6
Substituir tudo na fórmula de
e calcular numericamente, com cuidado para cada multiplicação.
Recordando a fórmula:
Recordando a fórmula:
Substituindo os valores (
,
,
,
):
Efetuando as operações em ordem:
Comentário sobre as contas: multipliquei primeiro
por
, depois dividi por
e por fim multipliquei pela raiz; esse sequenciamento facilita fazer contas à mão/sem calculadora mantendo precisão razoável.
Passo 7
Interpretação final e estímulo.
O valor encontrado é o comprimento limite: para comprimentos maiores que esse, a coluna é suficientemente delgada para que a flambagem elástica prevista por Euler ocorra antes da perda da proporcionalidade (yield); para comprimentos menores, o material deixa de obedecer Hooke linear antes de flambear, então a fórmula de Euler não se aplica como previsão da carga de falha. Bom trabalho — já dá pra encarar questões parecidas na prova!
O valor encontrado