Uma barra de aço com seção transversal quadrada de 5 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm} está engastada nas extremidades. Se o módulo de elasticidade da barra for 210 GPa e a tensão de proporcionalidade do material for 19 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}, determine o comprimento máximo para que se possa aplicar a equação de Euler.
Resposta: \mathrm{L}=303,11 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento (denotado por L) limite para que a fórmula de Euler possa ser aplicada à barra.
Dados fornecidos:
\text{seção transversal: }5\\ \text{cm}\times5\\ \text{cm};çã
E=210\\ \text{GPa};
\text{tensão de proporcionalidade (limite elástico linear): }\sigma_p=19\\ \text{kN}/\text{cm}^2.ãá
A barra está engastada nas duas extremidades (ou seja, ambos os extremos encastrados).
Neste passo apenas identificamos o que se pede e os dados; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Conceito e critério usado (aula rápida e intuitiva).
A fórmula de Euler dá a carga crítica de flambagem elástica para colunas delgadas, supondo comportamento linear-elástico. A condição para que a flambagem descrita por Euler seja a falha que ocorre antes do escoamento é que a tensão crítica de flambagem \sigma_{cr} seja menor ou igual à tensão de proporcionalidade \sigma_p. Assim usamos a igualdade limite
\sigma_{cr}=\sigma_p,
para determinar o comprimento limite L. Se \sigma_{cr}>\sigma_p, a peça yieldaria (o material deixaria de ser linear-elástico) antes de flambear elasticamente, e a fórmula de Euler não seria aplicável.

Passo 3

Fórmula de Euler em termos de tensão crítica e explicação das variáveis.
A tensão crítica dada por Euler pode ser escrita em função do momento de inércia e da área (usando raio de giração r):
\sigma_{cr}=\frac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_e}{r}\right)^2},
onde:
  • E é o módulo de elasticidade;
  • L_e é o comprimento efetivo da coluna (conta o condicionamento de contorno);
  • r é o raio de giração da seção, definido por r=\sqrt{\dfrac{I}{A}};
  • I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flambagem;
  • A é a área da seção transversal.
Para extremidades ambas engastadas, o comprimento efetivo é
L_e=K\,L\quad\text{com}\quad K=0{,}5.
Explicação rápida: encastrado-encastrado reduz a metade do comprimento eficaz em relação ao comprimento geométrico.
Colocando a condição limite \sigma_{cr}=\sigma_p e isolando L obtemos:
\sigma_p=\frac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K L}{r}\right)^2} \quad\Longrightarrow\quad \left(\dfrac{K L}{r}\right)^2=\frac{\pi^2 E}{\sigma_p}
\Longrightarrow\quad L=\frac{\pi\,r}{K}\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}.
Esta expressão dá o comprimento limite L (se L for maior que isso, Euler domina; se for menor, o material yielda antes).

Passo 4

Calcular I, A e r para a seção quadrada 5\\ \text{cm}\times5\\ \text{cm}.
Área:
A=5\cdot5=25\\ \text{cm}^2.
Momento de inércia de uma seção quadrada de lado a em relação a um eixo cental (qualquer eixo que passe pelo centro e seja paralelo a um dos lados) é
I=\frac{a^4}{12}.
Aqui a=5\\ \text{cm}, então
I=\frac{5^4}{12}=\frac{625}{12}=52{,}083333\\ \text{cm}^4.
Raio de giração:
r=\sqrt{\frac{I}{A}}=\sqrt{\frac{52{,}083333}{25}}=\sqrt{2{,}0833333}=1{,}443375673\\ \text{cm}.
Expliquei: r mede “quão concentrada” a área está em relação ao eixo; para seções quadradas fica r=\dfrac{a}{\sqrt{12}}.

Passo 5

Colocar E e \sigma_p nas mesmas unidades e calcular \sqrt{\dfrac{E}{\sigma_p}}.
Escolhemos trabalhar em \text{kN}/\text{cm}^2 porque \sigma_p já está nessa unidade. Convertendo E:
1\\ \text{GPa}=100\\ \text{kN}/\text{cm}^2,
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E=210\\ \text{GPa}=210\times100=21000\\ \text{kN}/\text{cm}^2.
Agora a razão:
\frac{E}{\sigma_p}=\frac{21000}{19}=1105{,}2631578947368.
Tomando a raiz:
\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}=\sqrt{1105{,}2631579}\approx 33{,}240012.
Breve nota didática: manter unidades consistentes é crucial; por isso converti E para \text{kN}/\text{cm}^2.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula de L e calcular numericamente, com cuidado para cada multiplicação.
Recordando a fórmula:
L=\frac{\pi\,r}{K}\sqrt{\frac{E}{\sigma_p}}.
Substituindo os valores ( r=1{,}443375673\\ \text{cm}, K=0{,}5, \sqrt{E/\sigma_p}\approx33{,}240012, \pi\approx3{,}141592654):
L=\frac{3{,}141592654\times 1{,}443375673}{0{,}5}\times 33{,}240012.
Efetuando as operações em ordem:
3{,}141592654\times 1{,}443375673 \approx 4{,}534666,
\frac{4{,}534666}{0{,}5}=9{,}069332,
9{,}069332\times 33{,}240012 \approx 303{,}11\\ \text{cm}.
Comentário sobre as contas: multipliquei primeiro \pi por r, depois dividi por K e por fim multipliquei pela raiz; esse sequenciamento facilita fazer contas à mão/sem calculadora mantendo precisão razoável.

Passo 7

Interpretação final e estímulo.
O valor encontrado L\approx 303{,}11\\ \text{cm} é o comprimento limite: para comprimentos maiores que esse, a coluna é suficientemente delgada para que a flambagem elástica prevista por Euler ocorra antes da perda da proporcionalidade (yield); para comprimentos menores, o material deixa de obedecer Hooke linear antes de flambear, então a fórmula de Euler não se aplica como previsão da carga de falha. Bom trabalho — já dá pra encarar questões parecidas na prova!

Resposta

L=303,11\\ \text{cm}

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