Determinar o diâmetro médio de Sauter da seguinte areia:
Mesh \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \mathbf{( \% )}
-14+16 15
-16+24 35
-24+32 45
-32+48 5

Passo 1

O enunciado pede para determinar o diâmetro médio de Sauter da areia cuja distribuição granulométrica, em porcentagem, nas classes de peneiras é:
  • -14+16: 15\%
  • -16+24: 35\%
  • -24+32: 45\%
  • -32+48: 5\%
Vou listar claramente o que temos de dados (valores de fração de massa/volume por classe) e o que é pedido (o diâmetro médio de Sauter, d_{32}). Não vou resolver nada ainda.

Passo 2

Primeiro precisamos transformar os números de malha (mesh) em aberturas de peneira em milímetros. Vou usar a tabela padrão de aberturas de malhas (valores típicos encontrados em tabelas ASTM/Tyler). Os diâmetros das aberturas que vou usar são:
  • malha 14 \Rightarrow abertura 1{,}41\\ \text{mm}
  • malha 16 \Rightarrow abertura 1{,}18\\ \text{mm}
  • malha 24 \Rightarrow abertura 0{,}71\\ \text{mm}
  • malha 32 \Rightarrow abertura 0{,}50\\ \text{mm}
  • malha 48 \Rightarrow abertura 0{,}297\\ \text{mm}
Obs.: estes são valores tabelados padrão; estou utilizando-os explicitamente para converter as classes em diâmetros físicos.

Passo 3

Explico o que é o diâmetro médio de Sauter e a fórmula que vamos usar.
  • O diâmetro médio de Sauter, d_{32}, é definido como a razão entre a soma das frações de volume (ou massa, se a densidade for constante) ponderadas por d^{3} e a soma das mesmas frações ponderadas por d^{2}. Fórmula:
d_{32}=\frac{\sum_{i} w_{i}\,d_{i}^{3}}{\sum_{i} w_{i}\,d_{i}^{2}},
onde:
  • w_{i} é a fração em massa (ou volume) da classe i (por exemplo 0{,}15 para 15\%);
  • d_{i} é o diâmetro representativo da classe i em milímetros.
  • Escolha do diâmetro representativo d_{i} para uma classe entre duas peneiras: usaremos a média geométrica (raiz quadrada do produto das aberturas superior e inferior):
d_{i}=\sqrt{d_{\text{superior}}\cdot d_{\text{inferior}}}.
Justificativa curta e prática: a distribuição de tamanhos costuma ser aproximadamente log-normal entre duas peneiras, e a média geométrica é a escolha natural (mais adequada que a média aritmética) para representar a classe em escalas de tamanho.

Passo 4

Calcular d_{i} (média geométrica) para cada classe usando as aberturas tabeladas (todos os números em \text{mm}).
  • Para -14+16: d_{\text{sup}}=1{,}41, d_{\text{inf}}=1{,}18,
d_{1}=\sqrt{1{,}41\cdot1{,}18}=\sqrt{1{,}6638}=1{,}2907\\ \text{mm}.
  • Para -16+24: d_{\text{sup}}=1{,}18, d_{\text{inf}}=0{,}71,
d_{2}=\sqrt{1{,}18\cdot0{,}71}=\sqrt{0{,}8378}=0{,}9154\\ \text{mm}.
  • Para -24+32: d_{\text{sup}}=0{,}71, d_{\text{inf}}=0{,}50,
d_{3}=\sqrt{0{,}71\cdot0{,}50}=\sqrt{0{,}355}=0{,}5958\\ \text{mm}.
  • Para -32+48: d_{\text{sup}}=0{,}50, d_{\text{inf}}=0{,}297,
d_{4}=\sqrt{0{,}50\cdot0{,}297}=\sqrt{0{,}1485}=0{,}3854\\ \text{mm}.

Passo 5

Calcular d_{i}^{2} e d_{i}^{3} (serão usados na soma ponderada). Já que d_{i}^{2}=d_{\text{sup}}\cdot d_{\text{inf}} por construção, eu reutilizo esses produtos quando possível.
  • Classe 1:
d_{1}^{2}=1{,}6638\\ \text{mm}^{2},\qquad d_{1}^{3}=d_{1}\,d_{1}^{2}=1{,}2907\cdot1{,}6638\approx2{,}1473\\ \text{mm}^{3}.
  • Classe 2:
d_{2}^{2}=0{,}8378\\ \text{mm}^{2},\qquad d_{2}^{3}=0{,}9154\cdot0{,}8378\approx0{,}7669\\ \text{mm}^{3}.
  • Classe 3:
d_{3}^{2}=0{,}3550\\ \text{mm}^{2},\qquad d_{3}^{3}=0{,}5958\cdot0{,}3550\approx0{,}2115\\ \text{mm}^{3}.
  • Classe 4:
d_{4}^{2}=0{,}1485\\ \text{mm}^{2},\qquad d_{4}^{3}=0{,}3854\cdot0{,}1485\approx0{,}05723\\ \text{mm}^{3}.

Passo 6

Converter as porcentagens em frações w_{i} e calcular numerador e denominador da fórmula de d_{32}.
As frações são:
w_{1}=0{,}15,\quad w_{2}=0{,}35,\quad w_{3}=0{,}45,\quad w_{4}=0{,}05.
Calcular os termos ponderados:
  • Numerador \sum w_{i}d_{i}^{3}:
\begin{aligned} w_{1}d_{1}^{3}&=0{,}15\cdot2{,}1473\approx0{,}32210,\\\ w_{2}d_{2}^{3}&=0{,}35\cdot0{,}7669\approx0{,}26842,\\\ w_{3}d_{3}^{3}&=0{,}45\cdot0{,}2115\approx0{,}09518,\\\ w_{4}d_{4}^{3}&=0{,}05\cdot0{,}05723\approx0{,}00286. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i} w_{i}d_{i}^{3}\approx0{,}32210+0{,}26842+0{,}09518+0{,}00286=0{,}68856.
  • Denominador \sum w_{i}d_{i}^{2}:
\begin{aligned} w_{1}d_{1}^{2}&=0{,}15\cdot1{,}6638\approx0{,}24957,\\\ w_{2}d_{2}^{2}&=0{,}35\cdot0{,}8378\approx0{,}29323,\\\ w_{3}d_{3}^{2}&=0{,}45\cdot0{,}3550\approx0{,}15975,\\\ w_{4}d_{4}^{2}&=0{,}05\cdot0{,}1485\approx0{,}007425. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i} w_{i}d_{i}^{2}\approx0{,}24957+0{,}29323+0{,}15975+0{,}007425=0{,}70997.

Passo 7

Calcular d_{32} usando os somatórios encontrados:
d_{32}=\frac{\sum_{i} w_{i}d_{i}^{3}}{\sum_{i} w_{i}d_{i}^{2}}=\frac{0{,}68856}{0{,}70997}\approx0{,}9696\\ \text{mm}.
Interpretação rápida e encorajamento: isso significa que, em média de Sauter (média que relaciona volume e área), a areia tem diâmetro característico de cerca de 0{,}97\\ \text{mm}. Boa! Você já se vira bem com a fórmula e o procedimento para qualquer distribuição por classes.

Resposta

d_{32}=0{,}97\\ \text{mm}

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