Determinar o diâmetro médio de Sauter da seguinte areia:
Mesh
15
35
45
5
| Mesh |
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15 |
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35 |
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45 |
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5 |
Passo 1
O enunciado pede para determinar o diâmetro médio de Sauter da areia cuja distribuição granulométrica, em porcentagem, nas classes de peneiras é:
-
: -
: -
: -
:
Vou listar claramente o que temos de dados (valores de fração de massa/volume por classe) e o que é pedido (o diâmetro médio de Sauter,
). Não vou resolver nada ainda.
Passo 2
Primeiro precisamos transformar os números de malha (mesh) em aberturas de peneira em milímetros. Vou usar a tabela padrão de aberturas de malhas (valores típicos encontrados em tabelas ASTM/Tyler). Os diâmetros das aberturas que vou usar são:
- malha
abertura - malha
abertura - malha
abertura - malha
abertura - malha
abertura
Obs.: estes são valores tabelados padrão; estou utilizando-os explicitamente para converter as classes em diâmetros físicos.
Passo 3
Explico o que é o diâmetro médio de Sauter e a fórmula que vamos usar.
- O diâmetro médio de Sauter,
, é definido como a razão entre a soma das frações de volume (ou massa, se a densidade for constante) ponderadas por e a soma das mesmas frações ponderadas por . Fórmula:
onde:
-
é a fração em massa (ou volume) da classe (por exemplo para ); -
é o diâmetro representativo da classe em milímetros. -
Escolha do diâmetro representativo
para uma classe entre duas peneiras: usaremos a média geométrica (raiz quadrada do produto das aberturas superior e inferior):
Justificativa curta e prática: a distribuição de tamanhos costuma ser aproximadamente log-normal entre duas peneiras, e a média geométrica é a escolha natural (mais adequada que a média aritmética) para representar a classe em escalas de tamanho.
Passo 4
Calcular
(média geométrica) para cada classe usando as aberturas tabeladas (todos os números em
).
- Para
: , ,
- Para
: , ,
- Para
: , ,
- Para
: , ,
Passo 5
Calcular
e
(serão usados na soma ponderada). Já que
por construção, eu reutilizo esses produtos quando possível.
- Classe 1:
- Classe 2:
- Classe 3:
- Classe 4:
Passo 6
Converter as porcentagens em frações
e calcular numerador e denominador da fórmula de
.
As frações são:
Calcular os termos ponderados:
- Numerador
:
Somando:
- Denominador
:
Somando:
Passo 7
Calcular
usando os somatórios encontrados:
Interpretação rápida e encorajamento: isso significa que, em média de Sauter (média que relaciona volume e área), a areia tem diâmetro característico de cerca de
. Boa! Você já se vira bem com a fórmula e o procedimento para qualquer distribuição por classes.