Calcular a relação \mathrm{d}_{\mathrm{v}} / \\\mathrm{d}_{\\\}\mathrm{a} para um paralelepípedo com dimensões proporcionais a 7 \times 5 \times 2. (supor que a área projetada do paralelepípedo é o retângulo 7 \times 5 )

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede calcular a relação \dfrac{dV}{dA}, isto é, a derivada do volume V em relação à área projetada A.
  • Informações dadas:
    • As dimensões do paralelepípedo são proporcionais a 7\times5\times2.
    • A área projetada considerada é o retângulo 7\times5 (ou seja, a face com lados nas proporções 7 e 5).
  • Observação implícita (não foi pedida, mas é necessária para proceder): existe um fator de escala k>0 tal que os lados reais são 7k, 5k e 2k. Não se começou a resolver nada ainda; só enumerei o que o problema dá e o que se pede.

Passo 2

Introduzir uma variável de escala e escrever as expressões de V e A em função dessa escala.
  • Seja k>0 o fator de proporcionalidade (escala linear). Assim os comprimentos das arestas são:
    • lado a=7k,
    • lado b=5k,
    • lado c=2k.
  • O volume de um paralelepípedo é o produto dos três lados; portanto V = a\cdot b\cdot c = (7k)(5k)(2k).
  • A área projetada (a face 7\times5) tem lados 7k e 5k, então sua área é A = (7k)(5k).
  • Comentário didático curto: quando se escala linearmente um sólido por um fator k, áreas escalam como k^{2} e volumes como k^{3}. Aqui vamos usar exatamente isso.

Passo 3

Calcular explicitamente V(k) e A(k) simplificando os produtos.
  • Calculemos: V = (7k)(5k)(2k) = 70\,k^{3}.
A = (7k)(5k) = 35\,k^{2}.
  • Repetindo em palavras: V(k)=70k^{3} e A(k)=35k^{2}.

Passo 4

Resolver k em função de A (isolar a escala) para poder escrever V como função de A.
  • A partir de A=35k^{2} temos k^{2}=\dfrac{A}{35}\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt{\dfrac{A}{35}}.
  • Observação: escolhemos a raiz positiva porque k é escala linear e deve ser positiva.

Passo 5

Substituir k em V=70k^{3} para obter V em função de A.
  • Primeiro escrevemos k^{3}=(k^{2})\cdot k=\dfrac{A}{35}\cdot \sqrt{\dfrac{A}{35}}=\left(\dfrac{A}{35}\right)^{3/2}.
  • Então V(A)=70\left(\dfrac{A}{35}\right)^{3/2}.
  • Simplificando o coeficiente: V(A)=70\cdot\dfrac{1}{35^{3/2}}\,A^{3/2}=\dfrac{70}{35\sqrt{35}}\,A^{3/2} =\dfrac{2}{\sqrt{35}}\,A^{3/2}.

Passo 6

Derivar V(A) em relação a A usando a regra da potência.
  • Regra usada (mini-aula): se f(A)=A^{n} então f'(A)=nA^{n-1}. Aqui n=\tfrac{3}{2}.
  • Aplicando a regra à expressão V(A)=\dfrac{2}{\sqrt{35}}\,A^{3/2}, obtemos \dfrac{dV}{dA}=\dfrac{2}{\sqrt{35}}\cdot\dfrac{3}{2}\,A^{1/2} =\dfrac{3}{\sqrt{35}}\,\sqrt{A}.
  • Explicação: multiplicou-se o coeficiente pela potência e diminuiu-se a potência em 1.

Passo 7

Dar formas alternativas e interpretação física da resposta (útil para prova).
  • Usando A=35k^{2} temos \sqrt{A}=\sqrt{35}\,k. Substituindo em \dfrac{dV}{dA} obtém-se a forma mais simples em termos de k: \dfrac{dV}{dA}= \dfrac{3}{\sqrt{35}}\,\sqrt{A}=3k.
  • Em palavras: a razão entre a variação do volume e a variação da área projetada, mantendo as proporções dos lados, é igual a 3 vezes o fator de escala linear k.
  • Ligação com o terceiro lado c=2k: como c=2k, pode-se escrever também \dfrac{dV}{dA}=\dfrac{3}{2}\,c.Ou seja, a derivada vale 3/2 vezes o comprimento da aresta perpendicular à face projetada. Isso é um resultado intuitivo: um aumento infinitesimal da área da face aumenta o volume aproximadamente pela área aumentada vezes metade do aumento do terceiro lado proporcional — aqui a constante surge da potência 3/2.

Resposta

\dfrac{dV}{dA}=\dfrac{3}{\sqrt{35}}\,\sqrt{A}
\dfrac{dV}{dA}=3k
\dfrac{dV}{dA}=\dfrac{3}{2}\,c

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