Calcular a relação
para um paralelepípedo com dimensões proporcionais a
. (supor que a área projetada do paralelepípedo é o retângulo
)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede calcular a relação
, isto é, a derivada do volume em relação à área projetada . - Informações dadas:
- As dimensões do paralelepípedo são proporcionais a
. - A área projetada considerada é o retângulo
(ou seja, a face com lados nas proporções e ).
- As dimensões do paralelepípedo são proporcionais a
- Observação implícita (não foi pedida, mas é necessária para proceder): existe um fator de escala
tal que os lados reais são , e . Não se começou a resolver nada ainda; só enumerei o que o problema dá e o que se pede.
Passo 2
Introduzir uma variável de escala e escrever as expressões de
e
em função dessa escala.
- Seja
o fator de proporcionalidade (escala linear). Assim os comprimentos das arestas são: - lado
, - lado
, - lado
.
- lado
- O volume de um paralelepípedo é o produto dos três lados; portanto
- A área projetada (a face
) tem lados e , então sua área é - Comentário didático curto: quando se escala linearmente um sólido por um fator
, áreas escalam como e volumes como . Aqui vamos usar exatamente isso.
Passo 3
Calcular explicitamente
e
simplificando os produtos.
- Calculemos:
- Repetindo em palavras:
e .
Passo 4
Resolver
em função de
(isolar a escala) para poder escrever
como função de
.
- A partir de
temos - Observação: escolhemos a raiz positiva porque
é escala linear e deve ser positiva.
Passo 5
Substituir
em
para obter
em função de
.
- Primeiro escrevemos
. - Então
- Simplificando o coeficiente:
Passo 6
Derivar
em relação a
usando a regra da potência.
- Regra usada (mini-aula): se
então . Aqui . - Aplicando a regra à expressão
, obtemos - Explicação: multiplicou-se o coeficiente pela potência e diminuiu-se a potência em
.
Passo 7
Dar formas alternativas e interpretação física da resposta (útil para prova).
- Usando
temos . Substituindo em obtém-se a forma mais simples em termos de : - Em palavras: a razão entre a variação do volume e a variação da área projetada, mantendo as proporções dos lados, é igual a
vezes o fator de escala linear . - Ligação com o terceiro lado
: como , pode-se escrever também Ou seja, a derivada vale vezes o comprimento da aresta perpendicular à face projetada. Isso é um resultado intuitivo: um aumento infinitesimal da área da face aumenta o volume aproximadamente pela área aumentada vezes metade do aumento do terceiro lado proporcional — aqui a constante surge da potência .