Determinar a distância mínima das retas reversas:
r:\left\{\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=z \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} \frac{x-2}{5}=z \\\ y=z-1 \end{array}\right.\right.

Passo 1

Vamos lá: o enunciado pede a distância mínima entre as duas retas reversas r e s no espaço. Esse é um problema de geometria vetorial que resolve‐se parametrizando as retas e usando a fórmula
d = \frac{\bigl|(\vec r_0 - \vec s_0)\cdot(\vec d_r \times \vec d_s)\bigr|}{\|\vec d_r \times \vec d_s\|},
onde \vec r_0 e \vec s_0 são pontos em r e s e \vec d_r,\vec d_s são seus vetores direção.

Passo 2

Parametrizo r. Defino t tal que
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=z=t.
Logo
x=1+2t,\quad y=2-t,\quad z=t.
Parametrizo s. Defino u tal que
\frac{x-2}{5}=z=u,\quad y=z-1=u-1.
Logo
x=2+5u,\quad y=u-1,\quad z=u.

Passo 3

Extraio pontos de referência e vetores direção.
Para r, tomo t=0, daí
\vec r_0=(1,2,0),\quad \vec d_r=(2,-1,1).
Para s, tomo u=0, daí
\vec s_0=(2,-1,0),\quad \vec d_s=(5,1,1).

Passo 4

Calculo o produto vetorial
\vec n = \vec d_r \times \vec d_s = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-2,\,3,\,7).
O módulo é
\|\vec n\|=\sqrt{(-2)^2+3^2+7^2}=\sqrt{62}.

Passo 5

Formo o vetor entre os pontos de referência
\vec r_0-\vec s_0=(1-2,\,2-(-1),\,0-0)=(-1,\,3,\,0)
e calculo
|(\vec r_0-\vec s_0)\cdot\vec n| =|(-1,3,0)\cdot(-2,3,7)|=|2+9+0|=11.
Aplicando a fórmula, a distância mínima é
d=\frac{11}{\sqrt{62}}.

Resposta

A distância mínima entre as retas é \displaystyle \frac{11}{\sqrt{62}}.

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