Determinar o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos dois planos dados
\begin{aligned} & \pi_{1}:\{2 x-y+z-1=0 \\ & \pi_{2}:\{x+y-z+2=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) que satisfazem
d\bigl(P,\pi_{1}\bigr)=d\bigl(P,\pi_{2}\bigr),
onde
\pi_{1}:2x - y + z - 1 = 0 \quad\text{e}\quad \pi_{2}:x + y - z + 2 = 0.
O conteúdo principal é o uso da fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembrando que, se \pi:Ax+By+Cz+D=0, então
d\bigl((x,y,z),\pi\bigr) =\frac{\bigl|Ax+By+Cz+D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Aplicando a \pi_{1} e \pi_{2}, temos
d\bigl(P,\pi_{1}\bigr) =\frac{\bigl|2x - y + z - 1\bigr|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}} =\frac{\bigl|2x - y + z - 1\bigr|}{\sqrt{6}},
d\bigl(P,\pi_{2}\bigr) =\frac{\bigl|x + y - z + 2\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}} =\frac{\bigl|x + y - z + 2\bigr|}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Impondo d(P,\pi_{1})=d(P,\pi_{2}), obtemos
\frac{\bigl|2x - y + z - 1\bigr|}{\sqrt{6}} =\frac{\bigl|x + y - z + 2\bigr|}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando, fica
\frac{(2x - y + z - 1)^2}{6} =\frac{(x + y - z + 2)^2}{3} \;\Longrightarrow\; (2x - y + z - 1)^2 =2\,(x + y - z + 2)^2.
Equivalente a considerar os dois casos:
2x - y + z - 1 = \pm\sqrt{2}\,\bigl(x + y - z + 2\bigr).

Passo 5

Cada sinal define um plano bissetor do ângulo diedro formado por \pi_{1} e \pi_{2}. Assim, o lugar geométrico é a união dos planos dados por
\frac{2x - y + z - 1}{\sqrt{6}} =\frac{x + y - z + 2}{\sqrt{3}} \quad\text{e}\quad \frac{2x - y + z - 1}{\sqrt{6}} =-\frac{x + y - z + 2}{\sqrt{3}}.

Resposta

O lugar geométrico é a união dos planos
\frac{2x - y + z - 1}{\sqrt{6}} =\pm\frac{x + y - z + 2}{\sqrt{3}}.

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