Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
(ou seja, o conjunto de pontos onde está bem definida). - Determinar o conjunto imagem de
(ou seja, todos os valores reais que pode assumir quando varia no domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão contém uma raiz quadrada
. Para que essa raiz seja um número real é necessário que o radicando satisfaça . - A mesma expressão aparece no denominador da fração; portanto não pode valer zero. Logo precisamos de
. - O numerador
não impõe restrição (pode ser qualquer número real).
Passo 2
Encontrar explicitamente a condição do domínio a partir de
.
Começamos com a desigualdade
Essa é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
A desigualdade
é satisfeita quando os dois fatores têm o mesmo sinal: ou ambos positivos ou ambos negativos. Uma forma mais simples e prática de entender isso é reescrever a desigualdade em termos de valores absolutos:
Explicando:
significa que o módulo (valor absoluto) de
é estritamente maior que o de
; isso garante
e, portanto,
.
Portanto o domínio é o conjunto
Passo 3
Interpretação geométrica e descrição alternativa do domínio (útil para a prova).
A condição
significa que estamos fora das retas
e
, mais precisamente nas duas regiões abertas onde a abscissa em módulo é maior que a ordenada em módulo. Em termos de união:
Observações úteis: os pontos sobre as retas
não pertencem ao domínio (porque aí
), inclusive o ponto
está fora do domínio.
Passo 4
Preparar uma estratégia para achar a imagem: redução por parâmetro.
Uma técnica prática é parametrizar usando a razão
quando
. No domínio temos
(porque
). Então escrevemos
com
e
. Substituindo em
:
Como
, obtemos
Portanto, para
fixo,
como função de
vale
Isto mostra que, para cada
,
atinge todos os valores de mesmo sinal que
(porque
varia em
) e é ilimitado em magnitude (vai a
quando
). Para
(ou seja
com
) vem
.
Passo 5
Provar construtivamente que a imagem é todo
.
Temos que verificar que para qualquer dado real
existe
tal que
.
Caso
: basta escolher
e qualquer
(por exemplo
). Então
e
porque
.
Caso
: escolha
Note que
, logo
e podemos definir
. Agora escolha
(qualquer
com
serve). Então
e
porque
. Calcule
usando a fórmula já obtida:
Com a escolha de
feita, temos
então
Portanto
. Isso mostra que qualquer
é valor de
. Logo o conjunto imagem é
.
Passo 6
Resumo e conclusão didática (o que levar para a prova).
- Para achar domínio de expressões com raiz no denominador: primeiro exigir radicando
para raiz real, depois excluir os pontos onde o denominador fica zero: aqui resultou em . - Para estudar imagem, uma boa ideia é parametrizar a desigualdade natural do domínio (aqui
com ), simplificar a expressão usando , e então analisar como variam os parâmetros. Quando possível, dar uma construção explícita (como escolher e ) para mostrar que qualquer valor procurado é atingido.
Resposta
Domínio:
Imagem: