Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}
e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de f (ou seja, o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 onde f está bem definida).
  • Determinar o conjunto imagem de f (ou seja, todos os valores reais que f(x,y) pode assumir quando (x,y) varia no domínio).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-y^{2}}. Para que essa raiz seja um número real é necessário que o radicando satisfaça \,x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • A mesma expressão aparece no denominador da fração; portanto não pode valer zero. Logo precisamos de \,x^{2}-y^{2}>0.
  • O numerador x y não impõe restrição (pode ser qualquer número real).

Passo 2

Encontrar explicitamente a condição do domínio a partir de \,x^{2}-y^{2}>0.
Começamos com a desigualdade
x^{2}-y^{2}>0.
Essa é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
A desigualdade (x-y)(x+y)>0 é satisfeita quando os dois fatores têm o mesmo sinal: ou ambos positivos ou ambos negativos. Uma forma mais simples e prática de entender isso é reescrever a desigualdade em termos de valores absolutos:
x^{2}-y^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|>|y|.
Explicando: |x|>|y| significa que o módulo (valor absoluto) de x é estritamente maior que o de y; isso garante x^{2}>y^{2} e, portanto, x^{2}-y^{2}>0.
Portanto o domínio é o conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|>|y|\}.

Passo 3

Interpretação geométrica e descrição alternativa do domínio (útil para a prova).
A condição |x|>|y| significa que estamos fora das retas y=x e y=-x, mais precisamente nas duas regiões abertas onde a abscissa em módulo é maior que a ordenada em módulo. Em termos de união:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x> |y|\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x< -|y|\}.
Observações úteis: os pontos sobre as retas y=\pm x não pertencem ao domínio (porque aí x^{2}-y^{2}=0), inclusive o ponto (0,0) está fora do domínio.

Passo 4

Preparar uma estratégia para achar a imagem: redução por parâmetro.
Uma técnica prática é parametrizar usando a razão t=\dfrac{y}{x} quando x\neq0. No domínio temos |t|<1 (porque |y|<|x|). Então escrevemos y=t x com t\in(-1,1) e x\neq0. Substituindo em f:
f(x,y)=\frac{x\cdot (t x)}{\sqrt{x^{2}-(t x)^{2}}}=\frac{t x^{2}}{\sqrt{x^{2}\bigl(1-t^{2}\bigr)}}.
Como \sqrt{x^{2}}=|x|, obtemos
f(x,y)=\frac{t x^{2}}{|x|\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{t\,|x|}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Portanto, para t\in(-1,1) fixo, f como função de x vale
f = \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\cdot |x|.
Isto mostra que, para cada t\neq0, f atinge todos os valores de mesmo sinal que t (porque |x| varia em (0,\infty)) e é ilimitado em magnitude (vai a \pm\infty quando |x|\to\infty). Para t=0 (ou seja y=0 com x\neq0) vem f=0.

Passo 5

Provar construtivamente que a imagem é todo \mathbb{R}.
Temos que verificar que para qualquer dado real s existe (x,y)\in D tal que f(x,y)=s.
Caso s=0: basta escolher y=0 e qualquer x\neq0 (por exemplo x=1). Então f(1,0)=0 e (1,0)\in D porque 1^{2}-0^{2}=1>0.
Caso s\neq0: escolha
t=\frac{s}{\sqrt{1+s^{2}}}.
Note que |t|=\dfrac{|s|}{\sqrt{1+s^{2}}}<1, logo t\in(-1,1) e podemos definir y=t x. Agora escolha x=1 (qualquer x com |x|=1 serve). Então y=t e (1,t)\in D porque |1|>|t|. Calcule f(1,t) usando a fórmula já obtida:
f(1,t)=\frac{t\,|1|}{\sqrt{1-t^{2}}}=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}.
Com a escolha de t feita, temos
1-t^{2}=1-\frac{s^{2}}{1+s^{2}}=\frac{1}{1+s^{2}},
então
\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}} =\frac{\dfrac{s}{\sqrt{1+s^{2}}}}{\sqrt{\dfrac{1}{1+s^{2}}}} =\frac{s}{\sqrt{1+s^{2}}}\cdot\sqrt{1+s^{2}}=s.
Portanto f(1,t)=s. Isso mostra que qualquer s\in\mathbb{R} é valor de f. Logo o conjunto imagem é \mathbb{R}.

Passo 6

Resumo e conclusão didática (o que levar para a prova).
  • Para achar domínio de expressões com raiz no denominador: primeiro exigir radicando \ge 0 para raiz real, depois excluir os pontos onde o denominador fica zero: aqui resultou em x^{2}-y^{2}>0.
  • Para estudar imagem, uma boa ideia é parametrizar a desigualdade natural do domínio (aqui y=t x com |t|<1), simplificar a expressão usando \sqrt{x^{2}}=|x|, e então analisar como variam os parâmetros. Quando possível, dar uma construção explícita (como escolher t=\dfrac{s}{\sqrt{1+s^{2}}} e x=1) para mostrar que qualquer valor procurado é atingido.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^{2}-y^{2}>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|>|y|\}
Imagem: \mathbb{R}

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