Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (x-y)

Passo 1

O enunciado fornece a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=\ln(x-y).
O que se pede:
  • Determinar o domínio de f (o conjunto de pares (x,y) para os quais f(x,y) está definida).
  • Determinar o conjunto imagem de f (os valores reais que f assume).

Passo 2

Lembrete sobre a função logaritmo natural: a função natural \ln está definida (no sentido de função real para real) somente para argumentos estritamente positivos. Em termos práticos:
\ln(t)\\ \text{está definida se, e somente se,}\\ t>0.á
Explicação curta e intuitiva: \ln(t) é a inversa da exponencial e^u; a exponencial só produz valores em (0,\infty), logo a inversa \ln só aceita entradas em (0,\infty). Não faz sentido (no conjunto dos números reais) calcular \ln(0) ou \ln de um número negativo.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso caso: o argumento do logaritmo é x-y. Para que f(x,y) esteja definida precisamos que
x-y>0.
Essa desigualdade é equivalente a
x>y
ou, reescrevendo numa forma de conjunto,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y<x\}.
Interpretação geométrica: o domínio é a meia-plano estrito do plano (x,y) que fica do lado em que x é maior que y — isto é, todos os pontos estritamente abaixo da reta y=x (a reta y=x não está incluída, porque lá x-y=0).
Exemplos concretos para fixar:
  • (1,0) pertence ao domínio porque 1-0=1>0.
  • (0,1) não pertence porque 0-1=-1\le 0.
  • Qualquer ponto da forma (s,0) com s>0 pertence ao domínio.

Passo 4

Agora vamos determinar a imagem (o conjunto de valores reais que f pode assumir). Seja z\in\mathbb{R} um número real qualquer. Queremos mostrar que existe (x,y) no domínio tal que f(x,y)=z.
Tomando exponencial dos dois lados da igualdade f(x,y)=z, temos que isso equivale a
x-y=e^{z}.
Como e^{z}>0 para todo z\in\mathbb{R}, podemos sempre escolher, por exemplo, y=0 e x=e^{z}. Então (x,y)=(e^{z},0) pertence ao domínio (porque e^{z}-0>0) e
f(e^{z},0)=\ln(e^{z})=z.
Portanto, para qualquer z\in\mathbb{R} existe um ponto (x,y) com f(x,y)=z. Isso prova que a imagem de f é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.

Passo 5

Resumo didático final: a restrição do domínio vem só do fato de que o argumento do logaritmo precisa ser positivo, o que equivale a exigir x-y>0. Quanto à imagem, a função consegue produzir qualquer número real porque, variando x-y sobre todos os positivos (0,\infty), a \ln cobre todo \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\}
Imagem: \mathbb{R}

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