Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado fornece a função
dada por
O que se pede:
- Determinar o domínio de
(o conjunto de pares para os quais está definida). - Determinar o conjunto imagem de
(os valores reais que assume).
Passo 2
Lembrete sobre a função logaritmo natural: a função natural
está definida (no sentido de função real para real) somente para argumentos estritamente positivos. Em termos práticos:
Explicação curta e intuitiva:
é a inversa da exponencial
; a exponencial só produz valores em
, logo a inversa
só aceita entradas em
. Não faz sentido (no conjunto dos números reais) calcular
ou
de um número negativo.
Passo 3
Aplicando essa condição ao nosso caso: o argumento do logaritmo é
. Para que
esteja definida precisamos que
Essa desigualdade é equivalente a
ou, reescrevendo numa forma de conjunto,
Interpretação geométrica: o domínio é a meia-plano estrito do plano
que fica do lado em que
é maior que
— isto é, todos os pontos estritamente abaixo da reta
(a reta
não está incluída, porque lá
).
Exemplos concretos para fixar:
-
pertence ao domínio porque . -
não pertence porque . - Qualquer ponto da forma
com pertence ao domínio.
Passo 4
Agora vamos determinar a imagem (o conjunto de valores reais que
pode assumir). Seja
um número real qualquer. Queremos mostrar que existe
no domínio tal que
.
Tomando exponencial dos dois lados da igualdade
, temos que isso equivale a
Como
para todo
, podemos sempre escolher, por exemplo,
e
. Então
pertence ao domínio (porque
) e
Portanto, para qualquer
existe um ponto
com
. Isso prova que a imagem de
é todo o conjunto dos números reais
.
Passo 5
Resumo didático final: a restrição do domínio vem só do fato de que o argumento do logaritmo precisa ser positivo, o que equivale a exigir
. Quanto à imagem, a função consegue produzir qualquer número real porque, variando
sobre todos os positivos
, a
cobre todo
.
Resposta
Domínio:
Imagem: