Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Determinar o conjunto imagem (valor que
pode assumir).
Informações relevantes fornecidas:
- As variáveis são
, que vou assumir como números reais, isto é, . - A expressão envolve uma divisão por
, portanto há atenção com possíveis divisores nulos.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui, de forma prática: é o conjunto de todos os tuplos
para os quais a fórmula da função faz sentido e produz um número real bem-definido. Em funções racionais (frações), a única causa de problemas é divisão por zero. Portanto identificamos a condição proibida:
ou seja, qualquer tuplo que satisfaça essa igualdade não pode estar no domínio porque aí a expressão teria divisão por zero.
Passo 3
Escrever o domínio em notação de conjunto e comentar sua forma geométrica:
Geometricamente, a condição
define um hiperplano em
. O domínio é exatamente
com esse hiperplano removido.
Passo 4
Definição do “conjunto imagem” (ou “imagem”): é o conjunto de todos os valores reais
tais que existe pelo menos um
no domínio com
. Aqui, para evitar confusão de letras, vou usar
para um valor na imagem; queremos os
tais que exista
com
Passo 5
Resolver a equação
em função de
. Reescrevendo:
desde que
(porque se
a igualdade exigiria divisão por zero no passo inverso). Isso sugere:
- Para qualquer
podemos escolher cujo somatório seja . Um exemplo simples é definir
que claramente satisfaz
e, desde que
, esse tuplo está no domínio (o denominador não é zero). Assim, todo
é atingido por
.
Passo 6
Mostrar que
não pode ser imagem. Suponha, por contradição, que exista
tal que
. Uma fração
com numerador
nunca é igual a zero para nenhum
finito; portanto não existe tal
. Logo
não pertence à imagem de
.
Passo 7
Conclusão lógica a partir dos passos anteriores:
- Todo
com é atingido (mostrei uma pré-imagem explícita). - O valor
não é atingido.
Portanto o conjunto imagem é.