Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
f(x, y, z, w)=\frac{5}{x+y+z+w}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z,w)=\frac{5}{x+y+z+w} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Determinar o conjunto imagem (valor que f pode assumir).
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis são (x,y,z,w), que vou assumir como números reais, isto é, (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4.
  • A expressão envolve uma divisão por x+y+z+w, portanto há atenção com possíveis divisores nulos.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui, de forma prática: é o conjunto de todos os tuplos (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 para os quais a fórmula da função faz sentido e produz um número real bem-definido. Em funções racionais (frações), a única causa de problemas é divisão por zero. Portanto identificamos a condição proibida:
x+y+z+w=0
ou seja, qualquer tuplo que satisfaça essa igualdade não pode estar no domínio porque aí a expressão teria divisão por zero.

Passo 3

Escrever o domínio em notação de conjunto e comentar sua forma geométrica:
\text{Dom}(f)=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z+w\neq 0\}.
Geometricamente, a condição x+y+z+w=0 define um hiperplano em \mathbb{R}^4. O domínio é exatamente \mathbb{R}^4 com esse hiperplano removido.

Passo 4

Definição do “conjunto imagem” (ou “imagem”): é o conjunto de todos os valores reais y tais que existe pelo menos um (x,y,z,w) no domínio com f(x,y,z,w)=y. Aqui, para evitar confusão de letras, vou usar t para um valor na imagem; queremos os t\in\mathbb{R} tais que exista (x,y,z,w) com
\frac{5}{x+y+z+w}=t.

Passo 5

Resolver a equação \dfrac{5}{x+y+z+w}=t em função de t. Reescrevendo:
x+y+z+w=\frac{5}{t},
desde que t\neq 0 (porque se t=0 a igualdade exigiria divisão por zero no passo inverso). Isso sugere:
  • Para qualquer t\neq 0 podemos escolher (x,y,z,w) cujo somatório seja \dfrac{5}{t}. Um exemplo simples é definir
x=\frac{5}{t},\quad y=0,\quad z=0,\quad w=0,
que claramente satisfaz x+y+z+w=\dfrac{5}{t} e, desde que t\neq 0, esse tuplo está no domínio (o denominador não é zero). Assim, todo t\neq 0 é atingido por f.

Passo 6

Mostrar que t=0 não pode ser imagem. Suponha, por contradição, que exista (x,y,z,w) tal que \dfrac{5}{x+y+z+w}=0. Uma fração \dfrac{5}{s} com numerador 5\neq 0 nunca é igual a zero para nenhum s finito; portanto não existe tal (x,y,z,w). Logo 0 não pertence à imagem de f.

Passo 7

Conclusão lógica a partir dos passos anteriores:
  • Todo t\in\mathbb{R} com t\neq 0 é atingido (mostrei uma pré-imagem explícita).
  • O valor t=0 não é atingido.
    Portanto o conjunto imagem é \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z+w\neq 0\}
\text{Im}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}

Exercícios relacionados