Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (i) o domínio, (ii) a imagem (conjunto-alcance) e (iii) o contradomínio. Vamos usar:
– para o domínio, as restrições de existência de e de
;
– para a imagem, analisar o comportamento em cada intervalo de continuidade e usar limites nos extremos.
– para o domínio, as restrições de existência de
– para a imagem, analisar o comportamento em cada intervalo de continuidade e usar limites nos extremos.
Passo 2
Para existir
precisamos de
Além disso, o denominador não pode ser zero:
Combinando, o domínio é
Passo 3
Analisamos
em
.
- Para
, temos e , logo . - Quando
,
- Quando
, o numerador vai a e o denominador a , dando
Portanto, em
a imagem é
.
Passo 4
Agora em
:
- Para
, o numerador é não-negativo e , então . - Quando
, o denominador tende a , daí
- Em
, e , então
Assim, em
a imagem é
.
Passo 5
Juntando as duas partes, o conjunto-alcance (imagem) de
é
Normalmente escolhemos o contradomínio sendo
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Contradomínio:
Imagem:
Contradomínio: