Determinar o domínio, a imagem e o contradomínio da função:
f(x)=raiz1-xx^2-4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=raiz1-xx^2-4
e pede (i) o domínio, (ii) a imagem (conjunto-alcance) e (iii) o contradomínio. Vamos usar:
– para o domínio, as restrições de existência de raiz1-x e de x^2-4neq0;
– para a imagem, analisar o comportamento em cada intervalo de continuidade e usar limites nos extremos.

Passo 2

Para existir raiz1-x precisamos de
1-x>=0 Longrightarrow x<=1
Além disso, o denominador não pode ser zero:
x^2-4neq0 Longrightarrow xneq2,;xneq-2
Combinando, o domínio é
D =(-infty,-2),cup,(-2,1]

Passo 3

Analisamos f em (-infty,-2).
  1. Para x< -2, temos 1-x>0 e x^2-4>0, logo f(x)>0.
  2. Quando xto-infty,
f(x)simraiz-xx^2to0^+
  1. Quando xto-2^-, o numerador vai a raiz1-(-2)=raiz3 e o denominador a 0^+, dando
f(x)to+infty
Portanto, em (-infty,-2) a imagem é (0,infty).

Passo 4

Agora em (-2,1]:
  1. Para -2<x<=1, o numerador é não-negativo e x^2-4<0, então f(x)<=0.
  2. Quando xto-2^+, o denominador tende a 0^-, daí
f(x)to-infty
  1. Em x=1, raiz1-1=0 e 1^2-4=-3, então
f(1)=0
Assim, em (-2,1] a imagem é (-infty,0].

Passo 5

Juntando as duas partes, o conjunto-alcance (imagem) de f é
(0,infty),cup,(-infty,0] = R
Normalmente escolhemos o contradomínio sendo R.

Resposta

Domínio: (-infty,-2)cup(-2,1]
Imagem: R
Contradomínio: R

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