Determinar o domínio no plano z, representado por
|z-2|=|z+4|,

Passo 1

O enunciado pede para determinar o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo que satisfazem
|z - 2| \;=\; |z + 4|.
O conteúdo envolvido é geometria analítica em \mathbb{C}: o módulo |z-a| representa a distância de z ao ponto a no plano.

Passo 2

Escrevemos z = x + i y, com x,y\in\mathbb{R}. Então
|z - 2| = \sqrt{(x-2)^2 + y^2} \quad\text{e}\quad |z + 4| = \sqrt{(x+4)^2 + y^2}.

Passo 3

Igualamos as distâncias e elevamos ao quadrado para eliminar as raízes:
(x-2)^2 + y^2 = (x+4)^2 + y^2.

Passo 4

Como o termo y^2 aparece dos dois lados, ele cancela, sobrando
(x-2)^2 = (x+4)^2.
Expandindo ambos os quadrados:
x^2 - 4x + 4 = x^2 + 8x + 16.
Cancelamos x^2 e resolvemos para x:
-4x + 4 = 8x + 16 \quad\Longrightarrow\quad -12x = 12 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.

Passo 5

O resultado mostra que todos os pontos z que satisfazem a condição têm parte real igual a -1.

Resposta

O domínio é a reta vertical dada por
\{\,z\in\mathbb{C}\mid \Re(z) = -1\}.

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