Determinar o lugar geométrico representado por
1<|z+2 i| \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos z\in\mathbb{C} que satisfazem
1<|z+2i|\le2.
O conteúdo é geometria no plano complexo: interpretar |z+2i| como distância de z ao ponto (0,-2).

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos
|z+2i|=|x+i(y+2)|=\sqrt{x^2+(y+2)^2}.
A desigualdade 1<|z+2i|\le2 torna-se
1<\sqrt{x^2+(y+2)^2}\le2
e, elevando ao quadrado (mantendo as inequações porque todos os termos são não negativos),
1< x^2+(y+2)^2 \le4.

Passo 3

A condição x^2+(y+2)^2=r^2 define um círculo de centro em (0,-2) e raio r. Logo
1< x^2+(y+2)^2 \le4
é a região entre dois círculos concêntricos com centro em (0,-2), tomados raio interno 1 (excluído) e raio externo 2 (incluído).

Resposta

O lugar geométrico é a coroa circular (anel) de centro em (0,-2), raio interno 1 (excluído) e raio externo 2 (incluído):
\{\,z\in\mathbb{C}:1<|z+2i|\le2\}.

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