Determinar o domínio no plano z, representado por
|z-3|+|z+3|=10

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z do plano complexo que satisfazem
|z-3| + |z+3| = 10.
O conteúdo aqui é a definição de elipse: o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante.

Passo 2

Escrevemos z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}. Então
|z-3| = \sqrt{(x-3)^2 + y^2},
|z+3| = \sqrt{(x+3)^2 + y^2},
e a equação vira
\sqrt{(x-3)^2 + y^2} + \sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 10.

Passo 3

Pela definição de elipse, se os focos estão em (3,0) e (-3,0), a distância focal é
2c = 6\quad\Longrightarrow\quad c = 3,
e a soma das distâncias é 2a=10, logo
a = 5.
O semi-eixo menor vem de
b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4.

Passo 4

A elipse centrada na origem, com semi-eixos a=5 (eixo maior no eixo x) e b=4, tem equação padrão
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1,
ou seja, o lugar geométrico é a elipse de focos (\pm3,0), semi-eixos 5 e 4.

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