Usando a formula de De Moivre mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para derivar as fórmulas de ângulo triplo de cosseno e seno usando o Teorema de De Moivre. O conteúdo principal é a identidade de De Moivre para números complexos e a expansão binomial.
Passo 2
Lembramos do Teorema de De Moivre, que diz que para todo inteiro
vale
Aqui vamos usar
.
Passo 3
Aplicando
e expandindo pela fórmula binomial, temos
Passo 4
Calculamos cada termo:
-
. -
. -
.
Substituindo:
Passo 5
Agrupando parte real e imaginária:
parte real: ,
parte imaginária (fator ):
.
Pelo Teorema de De Moivre isso deve ser igual a .
parte real:
parte imaginária (fator
Pelo Teorema de De Moivre isso deve ser igual a
Passo 6
Comparando as partes real e imaginária, obtemos as identidades desejadas:
que equivalem exatamente ao que se queria mostrar.