Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos \mathrm{P}(-2,0), \mathrm{Q}(0,2) e \mathrm{R}(4,0).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência que passa por P(-2,0), Q(0,2) e R(4,0). O conteúdo envolvido é geometria analítica de circunferência: vamos usar as mediatrizes (perpendiculares aos segmentos que passam pelo ponto médio) para encontrar o centro, depois o raio e, por fim, a equação.

Passo 2

Encontrar a mediatriz de PR.
Os extremos de PR são P(-2,0) e R(4,0). O ponto médio é
M_{PR} = \Bigl(\frac{-2+4}{2},\,\frac{0+0}{2}\Bigr) = (1,0).
Como PR é horizontal, sua mediatriz é a reta vertical
x = 1.

Passo 3

Encontrar a mediatriz de PQ.
Os extremos de PQ são P(-2,0) e Q(0,2). O ponto médio é
M_{PQ} = \Bigl(\frac{-2+0}{2},\,\frac{0+2}{2}\Bigr) = (-1,1).
A inclinação de PQ é
m_{PQ} = \frac{2-0}{0-(-2)} = 1,
logo a mediatriz tem inclinação -1. A equação em forma ponto-inclinação é
y - 1 = -1\,(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x.

Passo 4

Determinar o centro como interseção das mediatrizes x=1 e y=-x. Substituindo x=1 em y=-x
y = -1,
portanto o centro é
C = (1,-1).
O raio r é a distância de C a qualquer ponto, por exemplo P(-2,0):
r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}.

Passo 5

Escrever a equação canônica da circunferência com centro C(1,-1) e raio \sqrt{10}:
(x-1)^2 + (y+1)^2 = 10.
Expandindo em forma geral:
x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 10 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0.

Resposta

(x-1)^2 + (y+1)^2 = 10, que equivale a
x^2 + y^2 - 2x + 2y - 8 = 0.

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