Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto \mathbf{P}=(1,1,1) e contém a reta \mathbf{r} determinada pelos pontos \mathbf{A}=(2,1,-1) e \mathbf{B}=(3,2,-1).
a) \mathrm{A}=(1,1,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=(2,1,-1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=(3,-1,2)
b) A=(-1,0,0), \quad \vec{v}_{1}=(0,1,1), \quad \vec{v}_{2}=(2,1,-1)
c) \mathrm{A}=(0,0,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=(1,2,-1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=(3,2,0)
Passo 1
O enunciado pede a equação geral do plano que passa por P=(1,1,1) e contém a reta r que passa por A=(2,1,-1) e B=(3,2,-1).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, usando vetor normal e forma ponto-normal do plano.
Passo 2
Como o plano contém a reta r, um vetor diretor do plano é
\overrightarrow{AB} = B - A = (3,2,-1) - (2,1,-1) = (1,1,0).
Outro vetor do plano pode ser obtido ligando P a um dos pontos da reta, por exemplo
\overrightarrow{AP} = P - A = (1,1,1) - (2,1,-1) = (-1,0,2).
Passo 3
O vetor normal \mathbf{n} do plano é ortogonal a esses dois vetores diretores, logo podemos usar o produto vetorial: