Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto \mathbf{P}=(1,1,1) e contém a reta \mathbf{r} determinada pelos pontos \mathbf{A}=(2,1,-1) e \mathbf{B}=(3,2,-1).
a) \mathrm{A}=(1,1,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=(2,1,-1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=(3,-1,2)
b) A=(-1,0,0), \quad \vec{v}_{1}=(0,1,1), \quad \vec{v}_{2}=(2,1,-1)
c) \mathrm{A}=(0,0,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=(1,2,-1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=(3,2,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por P=(1,1,1) e contém a reta r que passa por A=(2,1,-1) e B=(3,2,-1).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, usando vetor normal e forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Como o plano contém a reta r, um vetor diretor do plano é
\overrightarrow{AB} = B - A = (3,2,-1) - (2,1,-1) = (1,1,0).
Outro vetor do plano pode ser obtido ligando P a um dos pontos da reta, por exemplo
\overrightarrow{AP} = P - A = (1,1,1) - (2,1,-1) = (-1,0,2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é ortogonal a esses dois vetores diretores, logo podemos usar o produto vetorial:
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP} = (1,1,0)\times(-1,0,2).
Calculando componente a componente:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot2 - 0\cdot0,\;-\bigl(1\cdot2 - 0\cdot(-1)\bigr),\;1\cdot0 - 1\cdot(-1)\bigr) = (2,\,-2,\;1).

Passo 4

A forma ponto-normal do plano é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0,
ou seja
(2,-2,1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,1)\bigr)=0.
Escrevendo em coordenadas:
2(x-1)-2(y-1)+1(z-1)=0
2x-2-2y+2+z-1=0
2x-2y+z-1=0.

Resposta

A equação geral do plano é
2x - 2y + z - 1 = 0.

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