Dar as posições do plano \mathrm{ax}+ by +\mathrm{cz}+\mathrm{d}=0 em relação ao sistema de coordenadas, nos seguintes casos:
a b c \neq 0, d=0

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
a x + b y + c z + d = 0
com a\neq0, b\neq0, c\neq0 e d=0. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: queremos descrever como esse plano se situa em relação ao sistema de coordenadas (O,\,x,y,z).

Passo 2

Como d=0, a equação do plano fica
a x + b y + c z = 0.
Note que (0,0,0) satisfaz esta equação, logo o plano passa pela origem O.

Passo 3

O vetor normal ao plano é \bigl(a,b,c\bigr). Como a, b e c são todos não-nulos, esse vetor não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados. Em consequência, o plano não é paralelo a nenhum dos eixos x, y ou z, nem tampouco a nenhum dos planos coordenados xy, xz ou yz.

Passo 4

Para ver onde o plano corta cada eixo, basta anular as outras duas coordenadas:
  • Na reta x- O: y=z=0 a x=0, logo x=0.
  • Na reta y- O: x=z=0 b y=0, logo y=0.
  • Na reta z- O: x=y=0 c z=0, logo z=0.
    Portanto, cada eixo só intercepta o plano no ponto O.

Passo 5

Nas faces coordenadas, por exemplo no plano xy (onde z=0), a interseção é
a x + b y = 0,
que é uma reta passando por O com coeficiente angular -a/b. Analogamente, nas faces xz e yz obtemos retas também passantes em O.

Resposta

O plano é um plano oblíquo que passa pela origem, não é paralelo a nenhum eixo nem a nenhum plano coordenado, e intercepta cada eixo apenas no ponto O.

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