Determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B= (2,4,6) e C=(0,-2,3).

Passo 1

O problema pede: determinar a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,3), B=(2,4,6) e C=(0,-2,3).
Informações dadas:
A=(1,2,3),\qquad B=(2,4,6),\qquad C=(0,-2,3).
Pergunta a responder:
Determinar a equação geral do plano que contém os três pontos acima, ou seja, obter uma equação da forma \,ax+by+cz+d=0\, que seja satisfeita por A, B e C.

Passo 2

Ideia do método (explicada de forma simples): um plano pode ser determinado por um ponto e um vetor normal a ele. Se achamos dois vetores não colineares contidos no plano (por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}), então o produto vetorial (cross product) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} nos dá um vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c). Com esse normal e um ponto do plano (por exemplo A) a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot (x,y,z - A) = 0,
ou seja \,a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Antes de tudo, verificamos se \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são colineares (se fossem, não formariam um plano único).

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembre: para dois pontos P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2),
\overrightarrow{PQ} = (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; z_2-z_1).
Aplicando aos nossos pontos:
\overrightarrow{AB} = B-A = (2-1,\;4-2,\;6-3) = (1,2,3),
\overrightarrow{AC} = C-A = (0-1,\;-2-2,\;3-3) = (-1,-4,0).

Passo 4

Verificação de colinearidade (rápida): vetores são colineares se um é múltiplo escalar do outro. Perguntamos: existe \lambda tal que \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}?
\text{Comparando coordenadas: } -1=\lambda\cdot1,\;-4=\lambda\cdot2,\;0=\lambda\cdot3.
Da primeira coordenada \lambda=-1. Da segunda \lambda=-2. Como -1\neq-2, não existe \lambda comum; portanto os vetores não são colineares e determinam um plano único. (Boa notícia!)

Passo 5

Agora calculamos o vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Vou explicar o produto vetorial de modo prático: para vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3),
(u_1,u_2,u_3)\times(v_1,v_2,v_3)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix},
que resulta nas componentes
\big(u_2v_3-u_3v_2,\; -(u_1v_3-u_3v_1),\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Essas componentes formam um vetor perpendicular a ambos os vetores originais.
Aplicando com \overrightarrow{AB}=(1,2,3) e \overrightarrow{AC}=(-1,-4,0):
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big(2\cdot0-3\cdot(-4),\;-(1\cdot0-3\cdot(-1)),\;1\cdot(-4)-2\cdot(-1)\big).
Calcule cada componente com calma:
\text{primeira: }2\cdot0-3\cdot(-4)=0+12=12,
\text{segunda: }-(1\cdot0-3\cdot(-1))=-(0+3)=-3,
\text{terceira: }1\cdot(-4)-2\cdot(-1)=-4+2=-2.
Logo
\mathbf{n}=(12,-3,-2).]

Passo 6

Agora usamos a fórmula do plano passando pelo ponto A=(1,2,3) com normal \mathbf{n}=(a,b,c)=(12,-3,-2):
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo:
12(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0.

Passo 7

Expandir a expressão para obter a forma geral ax+by+cz+d=0. Faça passo a passo:
12x-12 -3y+6 -2z+6 = 0.
Agrupando constantes:
12x -3y -2z +(-12+6+6)=12x-3y-2z+0=0.
Portanto a equação simplificada do plano é
12x-3y-2z=0.

Passo 8

Verificação final (conferir que os três pontos satisfazem a equação):
Para A=(1,2,3):
12\cdot1 -3\cdot2 -2\cdot3 = 12-6-6=0.
Para B=(2,4,6):
12\cdot2 -3\cdot4 -2\cdot6 = 24-12-12=0.
Para C=(0,-2,3):
12\cdot0 -3\cdot(-2) -2\cdot3 = 0+6-6=0.
Todos satisfazem, portanto a equação está correta. Você pode, se quiser, multiplicar por -1 e obter -12x+3y+2z=0, que descreve o mesmo plano — sinal global não altera o plano.

Resposta

12x-3y-2z=0

Exercícios relacionados