Determinar o valor de
para que os planos
sejam perpendiculares.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede para encontrar o valor de
de modo que esses planos sejam perpendiculares. As informações dadas são:
Pergunta explícita: determinar
tal que
e
sejam perpendiculares.
Passo 2
Entendimento importante (explicação conceitual): cada plano em
pode ser representado por uma equação linear do tipo
e o vetor
formado pelos coeficientes de
é um vetor normal ao plano (ou seja, aponta perpendicularmente ao plano). Portanto, ao olhar para a equação de um plano, os coeficientes na frente de
já nos dão o normal. Não precisa calcular nada além desses coeficientes para obter o normal.
Passo 3
Aplicando isso aos dois planos dados: o vetor normal de
é o vetor formado pelos coeficientes de
em
, e o normal de
é o vetor formado pelos coeficientes em
. Assim:
Observe que eu peguei esses dados diretamente das equações dos planos: os coeficientes de
.
Passo 4
Critério de perpendicularidade (explicação didática): dois planos são perpendiculares entre si se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares. Dois vetores
e
são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero:
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores. Então basta impor que
.
Passo 5
Aplicando o produto escalar aos normais que encontramos:
Agora vamos calcular cada termo:
Somando esses termos e impondo que o produto escalar seja zero:
Passo 6
Resolver a equação para
:
Expliquei cada passo da álgebra: somei
e
para obter
, isolei
subtraindo
e dividi por
.
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar mais seguro): com
o normal de
fica
. O produto escalar com
é
confirmando que os planos ficam perpendiculares.