Determinar o valor de m para que os planos
\begin{gathered} \pi: 2 x-m y+5 z-6=0 \\\ \gamma: x-2 y+z-3=0 \end{gathered}
sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede para encontrar o valor de m de modo que esses planos sejam perpendiculares. As informações dadas são:
\pi: 2x - m y + 5z - 6 = 0
\gamma: x - 2y + z - 3 = 0
Pergunta explícita: determinar m tal que \pi e \gamma sejam perpendiculares.

Passo 2

Entendimento importante (explicação conceitual): cada plano em \mathbb{R}^3 pode ser representado por uma equação linear do tipo
ax+by+cz+d=0,
e o vetor \mathbf{n}=(a,b,c) formado pelos coeficientes de x,y,z é um vetor normal ao plano (ou seja, aponta perpendicularmente ao plano). Portanto, ao olhar para a equação de um plano, os coeficientes na frente de x,y,z já nos dão o normal. Não precisa calcular nada além desses coeficientes para obter o normal.

Passo 3

Aplicando isso aos dois planos dados: o vetor normal de \pi é o vetor formado pelos coeficientes de x,y,z em \pi, e o normal de \gamma é o vetor formado pelos coeficientes em \gamma. Assim:
\mathbf{n}_\pi = (2,\,-m,\;5)
\mathbf{n}_\gamma = (1,\,-2,\;1)
Observe que eu peguei esses dados diretamente das equações dos planos: os coeficientes de x,y,z.

Passo 4

Critério de perpendicularidade (explicação didática): dois planos são perpendiculares entre si se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares. Dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) são perpendiculares quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0.
Aqui cada u_i e v_i é a componente correspondente dos vetores. Então basta impor que \mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma=0.

Passo 5

Aplicando o produto escalar aos normais que encontramos:
\mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}_\gamma = (2)\cdot(1) + (-m)\cdot(-2) + (5)\cdot(1).
Agora vamos calcular cada termo:
(2)\cdot(1)=2,
(-m)\cdot(-2)=2m,
(5)\cdot(1)=5.
Somando esses termos e impondo que o produto escalar seja zero:
2 + 2m + 5 = 0.

Passo 6

Resolver a equação para m:
2m + 7 = 0
2m = -7
m = -\frac{7}{2}.
Expliquei cada passo da álgebra: somei 2 e 5 para obter 7, isolei 2m subtraindo 7 e dividi por 2.

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): com m=-\dfrac{7}{2} o normal de \pi fica \mathbf{n}_\pi=(2,\;-\!(-\tfrac{7}{2}),\;5)=(2,\;\tfrac{7}{2},\;5). O produto escalar com \mathbf{n}_\gamma=(1,-2,1) é
2\cdot1 + \frac{7}{2}\cdot(-2) + 5\cdot1 = 2 -7 +5 = 0,
confirmando que os planos ficam perpendiculares.

Resposta

m=-\dfrac{7}{2}

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