r:\left\{\begin{array}{l} x=2-3 t \\\ y=-1+2 t \\\ z=2-4 t \end{array}\right.
e o plano \pi: 2 x-2 y+2 z-3=0
Passo 1
O problema pede que eu determine o ângulo entre a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2-3 t \\\ y=-1+2 t \\\ z=2-4 t \end{array}\right.
e o plano
\pi:2x-2y+2z-3=0.
Informações dadas:
\text{reta } r \text{ (forma paramétrica) com parâmetro } t,éâ
\text{plano } \pi \text{ na forma } 2x-2y+2z-3=0.
Pergunta explícita: qual é o ângulo entre a reta r e o plano \pi?
Passo 2
Extraio dos dados os vetores importantes:
Da reta em forma paramétrica, o vetor diretor \mathbf{v} é obtido pelos coeficientes do parâmetro t. Assim
\mathbf{v} = \langle -3,\,2,\,-4\rangle.
Explicação rápida: cada coordenada varia linearmente com t; os coeficientes são os componentes do vetor direção.
Do plano na forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal \mathbf{n} é dado pelas componentes (a,b,c). Portanto
\mathbf{n} = \langle 2,\,-2,\,2\rangle.
Explicação rápida: o vetor normal é perpendicular ao plano e aparece diretamente como os coeficientes de x,y,z.
Passo 3
Definição e estratégia:
Seja \alpha o ângulo entre a reta e o plano (isso é o que queremos).
Seja \beta o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{v} da reta e o vetor normal \mathbf{n} do plano.
Como \mathbf{n} é perpendicular ao plano, o ângulo entre a reta e o plano é o complemento do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}. Logo
\alpha = 90^\circ - \beta.
Outra forma prática (muito usada): como \cos\beta = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}, então
Explicação do que usei: o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z e \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}. O valor absoluto aparece porque o ângulo é sempre tomado entre 0^\circ e 90^\circ.
Passo 4
Calculo do produto escalar e das normas passo a passo:
Também podemos escrever via complemento: primeiro \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{9}{\sqrt{87}}\right) e \alpha=90^\circ-\beta; é a mesma coisa.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas já temos a fórmula pronta — na prova basta extrair \mathbf{v} e \mathbf{n}, calcular \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} e as normas e usar \sin\alpha = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}. Com prática vira automático!