Determinar o ângulo entre a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2-3 t \\\ y=-1+2 t \\\ z=2-4 t \end{array}\right.
e o plano \pi: 2 x-2 y+2 z-3=0

Passo 1

O problema pede que eu determine o ângulo entre a reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=2-3 t \\\ y=-1+2 t \\\ z=2-4 t \end{array}\right.
e o plano
\pi:2x-2y+2z-3=0.
Informações dadas:
\text{reta } r \text{ (forma paramétrica) com parâmetro } t,éâ
\text{plano } \pi \text{ na forma } 2x-2y+2z-3=0.
Pergunta explícita: qual é o ângulo entre a reta r e o plano \pi?

Passo 2

Extraio dos dados os vetores importantes:
  • Da reta em forma paramétrica, o vetor diretor \mathbf{v} é obtido pelos coeficientes do parâmetro t. Assim
\mathbf{v} = \langle -3,\,2,\,-4\rangle.
Explicação rápida: cada coordenada varia linearmente com t; os coeficientes são os componentes do vetor direção.
  • Do plano na forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal \mathbf{n} é dado pelas componentes (a,b,c). Portanto
\mathbf{n} = \langle 2,\,-2,\,2\rangle.
Explicação rápida: o vetor normal é perpendicular ao plano e aparece diretamente como os coeficientes de x,y,z.

Passo 3

Definição e estratégia:
  • Seja \alpha o ângulo entre a reta e o plano (isso é o que queremos).
  • Seja \beta o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{v} da reta e o vetor normal \mathbf{n} do plano.
    Como \mathbf{n} é perpendicular ao plano, o ângulo entre a reta e o plano é o complemento do ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{n}. Logo
\alpha = 90^\circ - \beta.
Outra forma prática (muito usada): como \cos\beta = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}, então
\sin\alpha = \cos\beta = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|},
ou seja
\alpha = \arcsin\!\left(\frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}\right).
Explicação do que usei: o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z e \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}. O valor absoluto aparece porque o ângulo é sempre tomado entre 0^\circ e 90^\circ.

Passo 4

Calculo do produto escalar e das normas passo a passo:
  • Produto escalar
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = (-3)\cdot 2 + 2\cdot(-2) + (-4)\cdot 2 = -6 -4 -8 = -18.
Tomando o valor absoluto:
|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}| = 18.
  • Norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+4+16} = \sqrt{29}.
  • Norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.

Passo 5

Substituo na fórmula para \sin\alpha:
\sin\alpha = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|} = \frac{18}{\sqrt{29}\cdot 2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{87}} = \frac{9}{\sqrt{87}}.
Portanto
\alpha = \arcsin\!\left(\frac{9}{\sqrt{87}}\right).
Também podemos escrever via complemento: primeiro \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{9}{\sqrt{87}}\right) e \alpha=90^\circ-\beta; é a mesma coisa.

Passo 6

Aproximação numérica para interpretação prática:
\frac{9}{\sqrt{87}}\approx 0{,}96499\quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 74{,}93^\circ.
Se quiser em radianos,
\alpha \approx 1{,}3079\\ \text{rad}.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas já temos a fórmula pronta — na prova basta extrair \mathbf{v} e \mathbf{n}, calcular \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} e as normas e usar \sin\alpha = \dfrac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}. Com prática vira automático!

Resposta

\displaystyle \alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{9}{\sqrt{87}}\right)\approx 74{,}93^\circ

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