Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos
possui o ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k}

Passo 1

O problema pede a equação geral do plano que passa pelo ponto A=(1,2,1) e é paralelo aos vetores \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}.
Para isso, vamos usar que o vetor normal \vec{n} ao plano é perpendicular a qualquer vetor paralelo ao plano, em particular \vec{u} e \vec{v}. Logo, podemos obter \vec{n} como o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} e depois escrever a equação do plano na forma
\vec{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.

Passo 2

Calcular o produto vetorial
\vec{n} \;=\;\vec{u}\times\vec{v} \;=\; \det\begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Expandindo o determinante:
\vec{n} =\vec{i}\bigl(1\cdot(-2)-(-1)\cdot1\bigr) -\vec{j}\bigl(1\cdot(-2)-(-1)\cdot1\bigr) +\vec{k}\bigl(1\cdot1-1\cdot1\bigr)
\vec{n} =\vec{i}(-2+1)-\vec{j}(-2+1)+\vec{k}(1-1) =\bigl(-1,\,1,\,0\bigr).
Podemos multiplicar por -1 para simplificar o sinal, obtendo
\vec{n}=(1,\,-1,\,0).

Passo 4

Seja (x,y,z) um ponto genérico do plano. A equação vetorial é
(1,-1,0)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,1)\bigr)=0.
Escrevendo em componentes:
1\,(x-1)-1\,(y-2)+0\,(z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-1-y+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x - y + 1 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
\boxed{x - y + 1 = 0.}

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