Determine se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.
r:\left\{\begin{array}{l}
x=-1+t \\
y=2+3 t, \\
z=t
\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l}
x=1+2 t \\
y=2+3 t, \\
z=3 t
\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.
Passo 1
O enunciado fornece duas retas em \mathbb{R}^3\): \(r:\) \[\begin{cases} x=-1+t\\\ y=2+3t\\\ z=t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}, (s:] \begin{cases} x=1+2u\\\ y=2+3u\\\ z=3u \end{cases} \quad u\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: obter vetores diretores e pontos das retas, verificar se são paralelas (vetores diretores colineares), concorrentes (têm intersecção) ou reversas (nenhuma das anteriores) e, no caso de retas reversas, usar a fórmula da distância mínima
Para checar intersecção, igualamos as coordenadas de r e s:
-1+t=1+2u,\quad2+3t=2+3u,\quad t=3u.
Da segunda equação vem 3t=3u\implies t=u. Então da terceira t=3u\implies u=0 e t=0. Substituindo na primeira obtém-se -1\neq1. Não há solução comum, ou seja, não são concorrentes.
Passo 5
Como não são nem paralelas nem concorrentes, concluímos que as retas são reversas (skew).