Determine se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas.
r:\left\{\begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2+3 t, \\ z=t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=2+3 t, \\ z=3 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.\right.

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em \mathbb{R}^3\): \(r:\) \[\begin{cases} x=-1+t\\\ y=2+3t\\\ z=t \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}, (s:] \begin{cases} x=1+2u\\\ y=2+3u\\\ z=3u \end{cases} \quad u\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: obter vetores diretores e pontos das retas, verificar se são paralelas (vetores diretores colineares), concorrentes (têm intersecção) ou reversas (nenhuma das anteriores) e, no caso de retas reversas, usar a fórmula da distância mínima
d=\frac{\bigl|(B-A)\cdot\bigl(v_r\times v_s\bigr)\bigr|}{\|v_r\times v_s\|}.

Passo 2

Extraímos para r o ponto A=(-1,2,0) (quando t=0) e o vetor diretor
v_r=(1,3,1).
Para s o ponto B=(1,2,0) (quando u=0) e o vetor diretor
v_s=(2,3,3).

Passo 3

Verificamos se v_r e v_s são colineares, ou seja, se existe \lambda tal que v_s=\lambda\,v_r. Comparando componentes:
\frac{2}{1}=2,\quad\frac{3}{3}=1,\quad\frac{3}{1}=3,
não há um único \lambda. Logo, não são paralelas.

Passo 4

Para checar intersecção, igualamos as coordenadas de r e s:
-1+t=1+2u,\quad2+3t=2+3u,\quad t=3u.
Da segunda equação vem 3t=3u\implies t=u. Então da terceira t=3u\implies u=0 e t=0. Substituindo na primeira obtém-se -1\neq1. Não há solução comum, ou seja, não são concorrentes.

Passo 5

Como não são nem paralelas nem concorrentes, concluímos que as retas são reversas (skew).

Passo 6

Calculamos o produto vetorial
v_r\times v_s=(1,3,1)\times(2,3,3)=(6,\,-1,\,-3),
o vetor entre pontos
B-A=(1,2,0)-(-1,2,0)=(2,0,0),
e então a distância
d=\frac{\bigl|(B-A)\cdot(v_r\times v_s)\bigr|}{\|v_r\times v_s\|} =\frac{|(2,0,0)\cdot(6,-1,-3)|}{\sqrt{6^2+(-1)^2+(-3)^2}} =\frac{|12|}{\sqrt{46}} =\frac{12}{\sqrt{46}} =\frac{6\sqrt{46}}{23}.

Resposta

As retas são reversas e a distância entre elas é
\frac{6\sqrt{46}}{23}.

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