Mostre que a distância entre as retas reversas r e s é dada por
d(r, s)=\frac{|\langle\overrightarrow{P Q}, \vec{u} \times \vec{v}\rangle|}{\|\vec{u} \times \vec{v}\|},

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dadas duas retas reversas em \mathbb{R}^3
– a reta r passando pelo ponto P com vetor diretor \vec u, ou seja
r: X = P + t\,\vec u,
– a reta s passando pelo ponto Q com vetor diretor \vec v, ou seja
s: X = Q + s\,\vec v,
a distância mínima entre um ponto de r e um ponto de s (distância entre retas reversas) vale
d(r,s)=\frac{\bigl|\langle\overrightarrow{PQ},\,\vec u\times\vec v\rangle\bigr|}{\|\vec u\times\vec v\|}.
Para isso vamos usar as propriedades do produto vetorial (que dá um vetor perpendicular a \vec u e \vec v) e do produto misto (que mede volume de paralelepípedo).

Passo 2

Calculemos o vetor
\vec n \;=\;\vec u \times \vec v.
Por construção \vec n é perpendicular simultaneamente a \vec u e a \vec v. Logo, qualquer segmento de reta que seja ortogonal a \vec u e a \vec v terá direção paralela (ou antiparalela) a \vec n.

Passo 3

Se \overrightarrow{PQ}=Q-P é o vetor que liga P a Q, então a projeção de \overrightarrow{PQ} na direção de \vec n mede exatamente a “altura” do paralelepípedo de base formada por \vec u e \vec v. Em outras palavras, o volume desse paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = \bigl|\langle\overrightarrow{PQ},\,\vec u\times\vec v\rangle\bigr|.
Por outro lado, a área da base (paralelogramo gerado por \vec u e \vec v) é
A = \|\vec u\times\vec v\|.
E como volume = área da base \times altura, segue que a altura (que é justamente a distância mínima entre as duas retas) satisfaz
\text{altura} = \frac{V}{A} = \frac{\bigl|\langle\overrightarrow{PQ},\,\vec u\times\vec v\rangle\bigr|}{\|\vec u\times\vec v\|}.

Resposta

d(r,s)=\frac{\bigl|\langle\overrightarrow{PQ},\,\vec u\times\vec v\rangle\bigr|}{\|\vec u\times\vec v\|}.

Exercícios relacionados