Para isso vamos usar as propriedades do produto vetorial (que dá um vetor perpendicular a \vec u e \vec v) e do produto misto (que mede volume de paralelepípedo).
Passo 2
Calculemos o vetor
\vec n \;=\;\vec u \times \vec v.
Por construção \vec n é perpendicular simultaneamente a \vec u e a \vec v. Logo, qualquer segmento de reta que seja ortogonal a \vec u e a \vec v terá direção paralela (ou antiparalela) a \vec n.
Passo 3
Se \overrightarrow{PQ}=Q-P é o vetor que liga P a Q, então a projeção de \overrightarrow{PQ} na direção de \vec n mede exatamente a “altura” do paralelepípedo de base formada por \vec u e \vec v. Em outras palavras, o volume desse paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto
V = \bigl|\langle\overrightarrow{PQ},\,\vec u\times\vec v\rangle\bigr|.
Por outro lado, a área da base (paralelogramo gerado por \vec u e \vec v) é
A = \|\vec u\times\vec v\|.
E como volume = área da base \times altura, segue que a altura (que é justamente a distância mínima entre as duas retas) satisfaz