Determinar o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias ao eixo dos x são iguais ao triplo de suas distâncias a (2,3,-3).

Passo 1

O exercício pede para encontrar o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) tais que a distância ao eixo dos x seja igual ao triplo da distância ao ponto P(2,3,-3). Vamos usar fórmulas de distância no espaço, polinomizar a relação e identificar a superfície resultante.

Passo 2

Para um ponto genérico (x,y,z), a distância ao eixo dos x (reta y=z=0) é dada por
,deixo = raizy^2+z^2
e a distância ao ponto P(2,3,-3) é
,dP = raiz(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2

Passo 3

Impondo a condição
raizy^2+z^2 = 3raiz(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2
elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes, obtendo
y^2+z^2 = 9l((x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2r)

Passo 4

Expandindo os quadrados e passando todos os termos para um lado, resulta
9x^2+8y^2+8z^2 -36x -54y +54z +198 = 0

Passo 5

Agora completamos quadrados em x, y e z. Agrupando e ajustando constantes, obtemos
9(x-2)^2 + 8l(y-tfrac278r)^2 + 8l(z+tfrac278r)^2 = tfrac814

Passo 6

Por fim, dividindo ambos os lados por 81/4 e comparando com a forma padrão, reconhecemos que a superfície é uma elipsoide de centro
l(2,,tfrac278,,-tfrac278r)
e semieixos
,a = tfrac32, b = c = tfrac94raiz2

Resposta

(x-2)^2tfrac94 + l(y-tfrac278r)^2tfrac8132 + l(z+tfrac278r)^2tfrac8132 = 1

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